Seja alpha a curva definida por alpha(t)=(3 t-t^3, 3 t^2, 3 t+t^3).
Determine em t=2:
os vetores T, N e B;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por alpha(t) = (3 t - t^3, 3 t^2, 3 t + t^3) e precisa encontrar, no ponto onde t = 2, os vetores T (tangente), N (normal) e B (binormal). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade da curva, que é a primeira derivada de alpha(t) em relação a t. Isso nos dá o vetor tangente não normalizado.
alpha'(t) = (ddt(3 t - t^3), ddt(3 t^2), ddt(3 t + t^3)) = (3 - 3t^2, 6t, 3 + 3t^2)

Passo 3

Agora, vamos avaliar alpha'(t) no ponto t = 2:
alpha'(2) = (3 - 3(2)^2, 6 times 2, 3 + 3(2)^2) = (3 - 12, 12, 3 + 12) = (-9, 12, 15)

Passo 4

Para obter o vetor tangente unitário T, precisamos normalizar alpha'(2). Primeiro, calculamos o comprimento de alpha'(2):
|alpha'(2)| = raiz(-9)^2 + 12^2 + 15^2 = raiz81 + 144 + 225 = raiz450 = 15raiz2
Então, o vetor tangente unitário é:
T = alpha'(2)|alpha'(2)| = (-915raiz2, 1215raiz2, 1515raiz2) = (-35raiz2, 45raiz2, 1raiz2)

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o vetor aceleração, que é a segunda derivada de alpha(t):
alpha''(t) = (ddt(-9t^2), ddt(6t), ddt(15t^2)) = (-6t, 6, 6t)
Avaliando em t = 2:
alpha''(2) = (-6 times 2, 6, 6 times 2) = (-12, 6, 12)

Passo 6

Agora, para encontrar o vetor normal N, primeiro calculamos a derivada de T em relação a t e normalizamos:
T'(t) = ddt(alpha'(t)|alpha'(t)|)
No entanto, para simplificar, usamos a fórmula:
N = alpha''(t)|alpha''(t)|
Calculando o comprimento de alpha''(2):
|alpha''(2)| = raiz(-12)^2 + 6^2 + 12^2 = raiz144 + 36 + 144 = raiz324 = 18
Então,
N = alpha''(2)18 = (-1218, 618, 1218) = (-23, 13, 23)

Passo 7

Finalmente, para encontrar o vetor binormal B, usamos o produto vetorial entre T e N:
B = T times N
Calculando:
T = (-35raiz2, 45raiz2, 1raiz2) N = (-23, 13, 23)
Computando o produto vetorial:
B = |ccc i & j & k -35raiz2 & 45raiz2 & 1raiz2 -23 & 13 & 23 | = i (45raiz2 times 23 - 1raiz2 times 13) - j (-35raiz2 times 23 - 1raiz2 times -23) + k (-35raiz2 times 13 - 45raiz2 times -23) = i (815raiz2 - 13raiz2) - j (-615raiz2 + 23raiz2) + k (-315raiz2 + 815raiz2) = i (8 - 515raiz2) - j (-6 + 1015raiz2) + k (515raiz2) = i (315raiz2) - j (415raiz2) + k (13raiz2) = (15raiz2, -415raiz2, 13raiz2)

Resposta

Portanto, em t = 2, os vetores são:
T = (-35raiz2, 45raiz2, 1raiz2), N = (-23, 13, 23), B = (15raiz2, -415raiz2, 13raiz2)

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