Seja a curva definida por .
Determine em :
os vetores e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por e precisa encontrar, no ponto onde , os vetores (tangente), (normal) e (binormal). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade da curva, que é a primeira derivada de em relação a . Isso nos dá o vetor tangente não normalizado.
Passo 3
Agora, vamos avaliar no ponto :
Passo 4
Para obter o vetor tangente unitário , precisamos normalizar . Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar o vetor aceleração, que é a segunda derivada de :
Avaliando em :
Passo 6
Agora, para encontrar o vetor normal , primeiro calculamos a derivada de em relação a e normalizamos:
No entanto, para simplificar, usamos a fórmula:
Calculando o comprimento de :
Então,
Passo 7
Finalmente, para encontrar o vetor binormal , usamos o produto vetorial entre e :
Calculando:
Computando o produto vetorial:
Resposta
Portanto, em t = 2, os vetores são:
T = (-35raiz2, 45raiz2, 1raiz2), N = (-23, 13, 23), B = (15raiz2, -415raiz2, 13raiz2)