Dada a função
H(x)=11+x^2
interprete geometricamente a H^prime(x). Explique.

Passo 1

O enunciado define a função
H(x)=11+x^2
e pede para interpretarmos geometricamente a sua derivada H'(x). O conteúdo necessário é o conceito de derivada como taxa de variação instantânea e como coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de H.

Passo 2

Vamos calcular H'(x) usando a regra do quociente ou a regra da cadeia. Tomando
H(x)=(1+x^2)^-1,
aplicamos a regra da cadeia:
H'(x) = -1cdot(1+x^2)^-2cdot 2x = -2x(1+x^2)^2

Passo 3

O sinal de H'(x) indica onde o gráfico de H cresce ou decresce:
  • Se x<0, então -2x>0 e (1+x^2)^2>0, logo H'(x)>0: H cresce em (-infty,0).
  • Se x>0, então -2x<0, logo H'(x)<0: H decresce em (0,infty).
  • Em x=0, temos H'(0)=0, o que significa que a reta tangente ao gráfico em x=0 é horizontal e esse ponto é um máximo local de H.

Passo 4

O valor absoluto de H'(x),
l|H'(x)r|=2|x|(1+x^2)^2,
mede a “inclinação” da tangente. Para |x| muito grande, (1+x^2)^2 cresce rápido, fazendo l|H'(x)r|to0: isso mostra que o gráfico se torna quase horizontal nas caudas. Há inclinações mais acentuadas em torno de valores intermediários de |x|.

Resposta

Geometricamente, H'(x)=tfrac-2x(1+x^2)^2 é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de H em cada ponto x. Seu sinal diz onde o gráfico sobe ( x<0) ou desce ( x>0), e o fato de H'(0)=0 corresponde a uma tangente horizontal no ponto de máximo em x=0. Além disso, l|H'(x)r|to0 quando |x|toinfty indica que o gráfico fica cada vez mais “rente” ao eixo horizontal nas extremidades.

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