e pede para interpretarmos geometricamente a sua derivada . O conteúdo necessário é o conceito de derivada como taxa de variação instantânea e como coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de .
Passo 2
Vamos calcular usando a regra do quociente ou a regra da cadeia. Tomando
aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
O sinal de indica onde o gráfico de cresce ou decresce:
Se , então e , logo : cresce em .
Se , então , logo : decresce em .
Em , temos , o que significa que a reta tangente ao gráfico em é horizontal e esse ponto é um máximo local de .
Passo 4
O valor absoluto de ,
mede a “inclinação” da tangente. Para |x| muito grande, (1+x^2)^2 cresce rápido, fazendo l|H'(x)r|to0: isso mostra que o gráfico se torna quase horizontal nas caudas. Há inclinações mais acentuadas em torno de valores intermediários de |x|.
Resposta
Geometricamente, H'(x)=tfrac-2x(1+x^2)^2 é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de H em cada ponto x. Seu sinal diz onde o gráfico sobe (x<0) ou desce (x>0), e o fato de H'(0)=0 corresponde a uma tangente horizontal no ponto de máximo em x=0. Além disso, l|H'(x)r|to0 quando |x|toinfty indica que o gráfico fica cada vez mais “rente” ao eixo horizontal nas extremidades.