É possível construir uma extensão da função g(x)=1x que seja contínua em 0?

Passo 1

O enunciado pergunta se dá para estender a função
g(x)=1x, xneq 0
definindo um valor g(0) de modo que a função estendida seja contínua em 0. O conteúdo que precisamos usar é o conceito de limite e de continuidade: para que a extensão seja contínua em 0, deve existir
limxto 0g(x)
finito e igual a g(0).

Passo 2

Calcular o limite pela direita:
limxto0^+g(x) =limxto0^+1x=+infty

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda:
limxto0^-g(x) =limxto0^-1x=-infty

Passo 4

Como
limxto0^+g(x)=+infty e limxto0^-g(x)=-infty,
o limite limxto0g(x) não existe como número real. Logo não há valor g(0)inR que torne a função contínua em 0.

Resposta

Não. Não existe extensão de g(x)=1/x que seja contínua em 0.

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