Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1. Determine:
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
que segue a distribuição normal com média
e desvio padrão
. Pede-se a probabilidade
Informações relevantes fornecidas:
-
(distribuição normal padrão). - O intervalo de interesse é
.
Passo 2
O que é a distribuição normal padrão e como se obtém probabilidades.
A distribuição normal padrão tem função densidade de probabilidade
A distribuição normal padrão tem função densidade de probabilidade
onde
é qualquer número real. A probabilidade acumulada até um ponto
é dada pela função de distribuição cumulativa (CDF)
Observação importante: essa integral não tem antiderivada elementar, por isso valores de
são obtidos por tabelas, calculadoras estatísticas ou aproximações numéricas.
Passo 3
Propriedade de simetria da normal padrão que facilita cálculos.
A densidade da normal padrão é simétrica em torno de . Dessa simetria decorre a propriedade
A densidade da normal padrão é simétrica em torno de
Em particular,
Usaremos essas propriedades para transformar a probabilidade pedida em termos de valores da CDF.
Passo 4
Expressar
em termos de
.
Por definição de ,
Por definição de
Usando
,
Passo 5
Obter o valor numérico de
.
Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística, encontra-se
Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística, encontra-se
(Esse valor é padrão: a probabilidade de uma
ficar abaixo de
desvios-padrão é cerca de
.)
Passo 6
Calcular a probabilidade pedida e interpretar o resultado.
Substituindo em ,
Substituindo em
Interpretação simples: cerca de
das observações de uma normal padrão caem entre
e
.