Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1. Determine:
P(0<X<3)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X que segue a distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1. Pede-se a probabilidade
P(0<X<3).
Informações relevantes fornecidas:
  • X\sim N(0,1) (distribuição normal padrão).
  • O intervalo de interesse é 0<X<3.

Passo 2

O que é a distribuição normal padrão e como se obtém probabilidades.
A distribuição normal padrão tem função densidade de probabilidade
f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2},
onde x é qualquer número real. A probabilidade acumulada até um ponto z é dada pela função de distribuição cumulativa (CDF)
\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}\,dt.
Observação importante: essa integral não tem antiderivada elementar, por isso valores de \Phi(z) são obtidos por tabelas, calculadoras estatísticas ou aproximações numéricas.

Passo 3

Propriedade de simetria da normal padrão que facilita cálculos.
A densidade da normal padrão é simétrica em torno de 0. Dessa simetria decorre a propriedade
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Em particular,
\Phi(0)=\frac{1}{2}.
Usaremos essas propriedades para transformar a probabilidade pedida em termos de valores da CDF.

Passo 4

Expressar P(0<X<3) em termos de \Phi.
Por definição de \Phi,
P(0<X<3)=\Phi(3)-\Phi(0).
Usando \Phi(0)=\tfrac{1}{2},
P(0<X<3)=\Phi(3)-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Obter o valor numérico de \Phi(3).
Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística, encontra-se
\Phi(3)\approx 0,99865.
(Esse valor é padrão: a probabilidade de uma N(0,1) ficar abaixo de 3 desvios-padrão é cerca de 0,99865.)

Passo 6

Calcular a probabilidade pedida e interpretar o resultado.
Substituindo em \Phi(3)-\tfrac{1}{2},
P(0<X<3)\approx 0,99865-0,5=0,49865.
Interpretação simples: cerca de 49,865\% das observações de uma normal padrão caem entre 0 e 3.

Resposta

0,49865

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