1.6 Faça o que se pede:
(a) Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que contém os pontos A=(-2,3,2), B= (2,5,2), C=(4,2,-1).
Solução: O plano que contém os pontos A, B e C é paralelo ao plano gerado pelos vetores A B=(4,2,0) e A C=(6,-1,-3). Assim, como o vetor A B times A C é ortogonal aos vetores A B e A C, então ele é ortogonal ao plano gerado por eles e consequentemente é também ortogonal ao plano que contém os pontos A, B e C. Portanto, o vetor
A B times A C=(-6,12,-16)
é uma solução para este problema.
(b) Encontre a área do triângulo A B C.
Solução: A área do triângulo A B C é igual a metade da área do paralelogramo determinado pelos vetores A B e A C. Assim, se S é a área do triângulo A B C, então
S=12|A B times A C|=raiz109

Passo 1

O enunciado pede em (a) um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa por A(−2,3,2), B(2,5,2) e C(4,2,−1), e em (b) a área do triângulo ABC. O conteúdo principal aqui é produto vetorial para achar o vetor normal ao plano e cálculo de norma para área.

Passo 2

Primeiro, precisamos dos vetores que geram o plano:
AB=B-A=(2-(-2),5-3,2-2)=(4,2,0)
AC=C-A=(4-(-2),2-3,-1-2)=(6,-1,-3)

Passo 3

Para achar um vetor ortogonal ao plano usamos o produto vetorial. Calculando ABtimesAC:
ABtimesAC= i & j & k 4 & 2 & 0 6 & -1 & -3 =-6,i+12,j-16,k
Logo, (-6,12,-16) é ortogonal ao plano.

Passo 4

Como o produto vetorial gera o paralelogramo formado por AB e AC, a área desse paralelogramo é |ABtimesAC|. Calculamos:
|(-6,12,-16)|=raiz(-6)^2+12^2+(-16)^2=raiz36+144+256=raiz436=2raiz109

Passo 5

A área do triângulo ABC é metade da área do paralelogramo. Então:
Área(triang<= ABC)=12times2raiz109=raiz109 Á

Resposta

Vetor ortogonal: (-6, 12, -16). Área do triângulo ABC: raiz109.

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