Seja S a superficie parametrizada por u >= 0, v >= 0 com u+v <= 1 e S.
a. Dar a equação do plano tangente a S no ponto .
b. Calcular a area de .

Passo 1

O problema pede duas coisas: (a) a equação do plano tangente à superfície S no ponto correspondente a (u,v)=(1/2,1/4), e (b) a área de S. A superfície é dada pela parametrização psi(u,v)=(u, v, 1-v^2) no triângulo D=(u,v):u>=0,v>=0,u+v<=1. Vamos precisar das derivadas parciais de psi e da norma do produto vetorial para a área.

Passo 2

Para achar o plano tangente, primeiro calculamos as derivadas parciais:
psiu=(1,0,0),
psiv=(0,1,-2v)
No ponto (u,v)=(1/2,1/4) isso vira
psiu(1/2,1/4)=(1,0,0),
psiv(1/2,1/4)=(0,1,-1/2)
O vetor normal é
psiutimespsiv=(1,0,0)times(0,1,-1/2)=(0,tfrac12,1)
Multiplicando por 2 para simplificar, podemos usar n=(0,1,2).

Passo 3

O ponto P na reta tangente é
P=psil(1/2,1/4r)=l(1/2,1/4,1-(1/4)^2r)=(1/2,1/4,15/16)
Logo a equação do plano usando n=(A,B,C)=(0,1,2) e (x0,y0,z0)=P é
0(x-1/2)+1(y-1/4)+2(z-15/16)=0
que simplifica para
y+2z-tfrac178=0

Passo 4

Para a área, usamos a fórmula
ÁREA=integral duplaDllVertpsiutimespsivrrVert,dA Á
Já temos psiutimespsiv=(0,2v,1) para um v genérico, e
lVert(0,2v,1)rVert=raiz1+4v^2
No domínio D temos 0<= v<=1 e 0<= u<=1-v, então
ÁREA=integralv=0^1integralu=0^1-vraiz1+4v^2,du,dv =integral0^1(1-v)raiz1+4v^2,dv Á

Passo 5

Agora dividimos a integral:
integral0^1(1-v)raiz1+4v^2,dv =integral0^1raiz1+4v^2,dv -integral0^1vraiz1+4v^2,dv
Usando integrais padrões (substituição hiperbólica e w=1+4v^2), chega-se a
integral0^1raiz1+4v^2,dv=14arsinh(2)+12raiz5,
integral0^1vraiz1+4v^2,dv=112l(5raiz5-1r)
Subtraindo e simplificando resulta
ÁREA=112(raiz5+1)+14arsinh(2) Á

Passo 6

Para ficar mais familiar, lembrando que arsinh(2)=ln(2+raiz5), poderíamos também escrever
ÁREA=raiz5+112+14lnl(2+raiz5r) Á

Resposta

(a) Plano tangente: y+2z-tfrac178=0 (b) Área de S: 112(raiz5+1)+14arsinh(2) (ou raiz5+112+14ln(2+raiz5)).

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