Seja a superficie parametrizada por com e .
a. Dar a equação do plano tangente a no ponto .
b. Calcular a area de .
Passo 1
O problema pede duas coisas: (a) a equação do plano tangente à superfície S no ponto correspondente a (u,v)=(1/2,1/4), e (b) a área de S. A superfície é dada pela parametrização no triângulo . Vamos precisar das derivadas parciais de e da norma do produto vetorial para a área.
Passo 2
Para achar o plano tangente, primeiro calculamos as derivadas parciais:
No ponto isso vira
O vetor normal é
Multiplicando por 2 para simplificar, podemos usar .
Passo 3
O ponto na reta tangente é
Logo a equação do plano usando e é
que simplifica para
Passo 4
Para a área, usamos a fórmula
Já temos psiutimespsiv=(0,2v,1) para um v genérico, e
lVert(0,2v,1)rVert=raiz1+4v^2
No domínio D temos 0<= v<=1 e 0<= u<=1-v, então
ÁREA=integralv=0^1integralu=0^1-vraiz1+4v^2,du,dv =integral0^1(1-v)raiz1+4v^2,dv Á