Dada a função
, calcule, usando o método de Newton-Raphson, a raiz real de
. Utilize para aproximação inicial o valor
e considere
. Utilize nos cálculos 4 casas decimais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a raiz real de
pelo método de Newton–Raphson, usando:
- aproximação inicial
; - critério de parada com
(interpreto isto como parar quando a diferença entre iterações satisfizer ); - usar 4 casas decimais nos cálculos intermediários (ou seja, arredondar cada valor numérico intermediário para 4 casas decimais).
O que vou entregar: uma resolução passo a passo das iterações de Newton, com explicações didáticas e arredondamentos a 4 casas em cada conta, até que
.
Passo 2
O método de Newton–Raphson é uma técnica iterativa para encontrar raízes da equação
. A ideia é linearizar
em torno de uma aproximação
(usando a reta tangente) e tomar a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação
. A fórmula de iteração é
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é o valor da função nessa aproximação; -
é a derivada de em ; -
é a próxima aproximação.
Por que funciona (intuitivo): a reta tangente em
é uma boa aproximação local da curva
. A interseção da tangente com o eixo
costuma ser um palpite muito melhor para a raiz do que
.
Passo 3
Calcular a derivada
explicitamente (vamos mostrar passo a passo):
Derivando termo a termo:
- a derivada de
é ; - a derivada de
é ; - a derivada de
é .
Como esses dois expoentes estão subtraídos em, temos
Passo 4
Preparação para iterar: vou aplicar a fórmula de Newton
a partir de
. Em cada iteração vou:
- calcular
e ; - calcular
; - calcular
; - calcular
e arredondar todos os resultados intermediários a 4 casas decimais (conforme pedido); - verificar se
. Se sim, paro; senão, repito.
Vamos às iterações numéricas (tudo arredondado a 4 casas decimais conforme solicitado).
Passo 5
Iteração 0 → 1 (a partir de
):
Calcular expoenciais (arredondados a 4 casas):
Calcular
(4 casas):
Calcular
(4 casas):
Atualizar
:
Diferença
. Ainda não convergiu.
Passo 6
Iteração 1 → 2 (a partir de
):
Calcular expoenciais (4 casas):
Calcular
(4 casas):
Calcular
(4 casas):
Atualizar
:
Diferença
. Ainda não convergiu.
Passo 7
Iteração 2 → 3 (a partir de
):
Calcular expoenciais (4 casas):
Calcular
(4 casas):
Calcular
(4 casas):
Atualizar
:
Diferença
. Critério de parada satisfeito.
Passo 8
Interpretação final e observações rápidas:
- Após arredondar cada cálculo a 4 casas decimais e aplicar Newton–Raphson com
, a iteração convergiu em 3 passos para a aproximação . - Usei o critério
conforme indicado por . - Se alguém precisar de mais precisão, repetir a iteração sem arredondar tanto os intermediários dará um valor final mais refinado; aqui segui estritamente o pedido de 4 casas nos cálculos intermediários.