Dada a função \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\left(\mathbf{e}^{-\mathbf{0 , 2 x}}+\mathbf{e}^{-\mathbf{0 , 7 5 x}}\right), calcule, usando o método de Newton-Raphson, a raiz real de \mathrm{f}(\mathrm{x}). Utilize para aproximação inicial o valor \mathrm{x}_{0}=1 e considere \varepsilon_{\mathrm{k}+1}=\varepsilon_{\mathrm{k}}=10^{-3}. Utilize nos cálculos 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá a função
\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\bigl(\mathbf{e}^{-\mathbf{0,2x}}+\mathbf{e}^{-\mathbf{0,75x}}\bigr)
e pede para calcular a raiz real de f(x) pelo método de Newton–Raphson, usando:
  • aproximação inicial x_{0}=1;
  • critério de parada com \varepsilon_{k+1}=\varepsilon_{k}=10^{-3} (interpreto isto como parar quando a diferença entre iterações satisfizer |x_{k+1}-x_k|\leq10^{-3});
  • usar 4 casas decimais nos cálculos intermediários (ou seja, arredondar cada valor numérico intermediário para 4 casas decimais).
O que vou entregar: uma resolução passo a passo das iterações de Newton, com explicações didáticas e arredondamentos a 4 casas em cada conta, até que |x_{k+1}-x_k|\leq10^{-3}.

Passo 2

O método de Newton–Raphson é uma técnica iterativa para encontrar raízes da equação f(x)=0. A ideia é linearizar f em torno de uma aproximação x_n (usando a reta tangente) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}. A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui:
  • x_n é a aproximação atual;
  • f(x_n) é o valor da função nessa aproximação;
  • f'(x_n) é a derivada de f em x_n;
  • x_{n+1} é a próxima aproximação.
Por que funciona (intuitivo): a reta tangente em x_n é uma boa aproximação local da curva y=f(x). A interseção da tangente com o eixo x costuma ser um palpite muito melhor para a raiz do que x_n.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) explicitamente (vamos mostrar passo a passo):
f(x)=x-\bigl(e^{-0,2x}+e^{-0,75x}\bigr).
Derivando termo a termo:
  • a derivada de x é 1;
  • a derivada de e^{-0,2x} é -0,2\,e^{-0,2x};
  • a derivada de e^{-0,75x} é -0,75\,e^{-0,75x}.
    Como esses dois expoentes estão subtraídos em f, temos
f'(x)=1-\bigl(-0,2\,e^{-0,2x}-0,75\,e^{-0,75x}\bigr)=1+0,2\,e^{-0,2x}+0,75\,e^{-0,75x}.

Passo 4

Preparação para iterar: vou aplicar a fórmula de Newton
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
a partir de x_0=1. Em cada iteração vou:
  1. calcular e^{-0,2x_n} e e^{-0,75x_n};
  2. calcular f(x_n)=x_n-(e^{-0,2x_n}+e^{-0,75x_n});
  3. calcular f'(x_n)=1+0,2\,e^{-0,2x_n}+0,75\,e^{-0,75x_n};
  4. calcular x_{n+1} e arredondar todos os resultados intermediários a 4 casas decimais (conforme pedido);
  5. verificar se |x_{n+1}-x_n|\leq10^{-3}. Se sim, paro; senão, repito.
Vamos às iterações numéricas (tudo arredondado a 4 casas decimais conforme solicitado).

Passo 5

Iteração 0 → 1 (a partir de x_0=1):
Calcular expoenciais (arredondados a 4 casas):
e^{-0,2\cdot 1}=e^{-0,2}\approx 0,8187, \qquad e^{-0,75\cdot 1}=e^{-0,75}\approx 0,4724.
Calcular f(x_0) (4 casas):
f(1)=1-(0,8187+0,4724)=1-1,2911=-0,2911.
Calcular f'(x_0) (4 casas):
f'(1)=1+0,2\cdot0,8187+0,75\cdot0,4724=1+0,1637+0,3543=1,5180.
Atualizar x:
x_1=1-\frac{-0,2911}{1,5180}=1+0,1918\approx 1,1918.
Diferença |x_1-x_0|=|1,1918-1|=0,1918>10^{-3}. Ainda não convergiu.

Passo 6

Iteração 1 → 2 (a partir de x_1=1,1918):
Calcular expoenciais (4 casas):
e^{-0,2\cdot1,1918}=e^{-0,23836}\approx 0,7879, \qquad e^{-0,75\cdot1,1918}=e^{-0,89385}\approx 0,4084.
Calcular f(x_1) (4 casas):
f(1,1918)=1,1918-(0,7879+0,4084)=1,1918-1,1963=-0,0045.
Calcular f'(x_1) (4 casas):
f'(1,1918)=1+0,2\cdot0,7879+0,75\cdot0,4084=1+0,1576+0,3063=1,4639.
Atualizar x:
x_2=1,1918-\frac{-0,0045}{1,4639}=1,1918+0,0031\approx 1,1949.
Diferença |x_2-x_1|=|1,1949-1,1918|=0,0031>10^{-3}. Ainda não convergiu.

Passo 7

Iteração 2 → 3 (a partir de x_2=1,1949):
Calcular expoenciais (4 casas):
e^{-0,2\cdot1,1949}=e^{-0,23898}\approx 0,7874, \qquad e^{-0,75\cdot1,1949}=e^{-0,896175}\approx 0,4074.
Calcular f(x_2) (4 casas):
f(1,1949)=1,1949-(0,7874+0,4074)=1,1949-1,1948=0,0001.
Calcular f'(x_2) (4 casas):
f'(1,1949)=1+0,2\cdot0,7874+0,75\cdot0,4074=1+0,1575+0,3056=1,4630.
Atualizar x:
x_3=1,1949-\frac{0,0001}{1,4630}=1,1949-0,0001\approx 1,1948.
Diferença |x_3-x_2|=|1,1948-1,1949|=0,0001\leq10^{-3}. Critério de parada satisfeito.

Passo 8

Interpretação final e observações rápidas:
  • Após arredondar cada cálculo a 4 casas decimais e aplicar Newton–Raphson com x_0=1, a iteração convergiu em 3 passos para a aproximação x\approx 1,1948.
  • Usei o critério |x_{k+1}-x_k|\leq10^{-3} conforme indicado por \varepsilon_{k+1}=\varepsilon_k=10^{-3}.
  • Se alguém precisar de mais precisão, repetir a iteração sem arredondar tanto os intermediários dará um valor final mais refinado; aqui segui estritamente o pedido de 4 casas nos cálculos intermediários.

Resposta

x\approx 1,1948

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