A função
possui uma raiz função real. Use o método de Newton-Raphson e com precisão de 3 casas decimais calcule esta raiz.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a raiz real dessa função usando o método de Newton-Raphson com precisão de 3 casas decimais. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Deve-se usar o método de Newton-Raphson (iterações) até garantir precisão de 3 casas decimais na raiz.
Passo 2
O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para aproximar raízes de equações
. A iteração básica é:
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é a próxima aproximação; -
é a derivada de .
Vou calcular explicitamente
. Derivando
:
Explicando cada termo: a derivada de
é
; a derivada de
é
; o fator
permanece multiplicando.
Passo 3
Critério de parada para ter 3 casas decimais: vou parar quando a diferença entre iterações sucessivas satisfizer
pois isso garante que o valor arredondado a 3 casas decimais já não muda. Agora escolho uma aproximação inicial. Observando a equação, a raiz real é negativa (pista:
tem raiz real negativa), portanto escolho
uma escolha próxima do valor esperado e que convergirá rapidamente.
Passo 4
Primeira iteração (
→
):
Calcular
e
para
.
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 5
Segunda iteração (
→
) com
:
Calcular
:
Calcular
:
Aplicando Newton:
Diferença:
, então continua.
Passo 6
Terceira iteração (
→
) com
:
Calcular
e
(valores aproximados já arredondados com cuidado):
Aplicando Newton:
Calcular diferença:
Portanto o critério de parada para 3 casas decimais foi satisfeito.
Passo 7
Interpretação final: a sequência está convergindo rapidamente para a raiz real. A aproximação obtida
já está dentro da tolerância exigida, e ao arredondar para 3 casas decimais obtém-se
.