A função \mathbf{f}(\mathbf{x})=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\left(\mathbf{x}+\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}}\right) possui uma raiz função real. Use o método de Newton-Raphson e com precisão de 3 casas decimais calcule esta raiz.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=\tfrac{1}{2}\!\left(x+\dfrac{3}{x^{2}}\right)\, e pede para calcular a raiz real dessa função usando o método de Newton-Raphson com precisão de 3 casas decimais. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \,f(x)=\tfrac{1}{2}\!\left(x+\dfrac{3}{x^{2}}\right).
  • Deve-se usar o método de Newton-Raphson (iterações) até garantir precisão de 3 casas decimais na raiz.

Passo 2

O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para aproximar raízes de equações f(x)=0. A iteração básica é:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui:
  • \,x_{n}\, é a aproximação atual;
  • \,x_{n+1}\, é a próxima aproximação;
  • \,f'(x)\, é a derivada de \,f(x).
Vou calcular explicitamente f'(x). Derivando \,f(x)=\tfrac{1}{2}\!\left(x+\dfrac{3}{x^{2}}\right)\,:
f'(x)=\tfrac{1}{2}\!\left(1 - \dfrac{6}{x^{3}}\right).
Explicando cada termo: a derivada de x é 1; a derivada de 3/x^{2} é -6/x^{3}; o fator \tfrac{1}{2} permanece multiplicando.

Passo 3

Critério de parada para ter 3 casas decimais: vou parar quando a diferença entre iterações sucessivas satisfizer
|x_{n+1}-x_{n}| < 5\times 10^{-4},
pois isso garante que o valor arredondado a 3 casas decimais já não muda. Agora escolho uma aproximação inicial. Observando a equação, a raiz real é negativa (pista: x^3+3=0 tem raiz real negativa), portanto escolho
x_{0} = -1{,}5,
uma escolha próxima do valor esperado e que convergirá rapidamente.

Passo 4

Primeira iteração ( n=0 n=1):
Calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}) para x_{0}=-1{,}5.
f(-1{,}5)=\tfrac{1}{2}\!\left(-1{,}5+\dfrac{3}{(-1{,}5)^{2}}\right) =\tfrac{1}{2}\!\left(-1{,}5+\dfrac{3}{2{,}25}\right) =\tfrac{1}{2}\!\left(-1{,}5+1{,}333\overline{3}\right) =-0{,}083333\overline{3}.
f'(-1{,}5)=\tfrac{1}{2}\!\left(1-\dfrac{6}{(-1{,}5)^{3}}\right) =\tfrac{1}{2}\!\left(1-\dfrac{6}{-3{,}375}\right) =\tfrac{1}{2}\!\left(1+1{,}777\overline{7}\right) =1{,}388888\overline{8}.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}= -1{,}5 - \frac{-0{,}083333\overline{3}}{1{,}388888\overline{8}} = -1{,}5 + 0{,}06 = -1{,}44.

Passo 5

Segunda iteração ( n=1 n=2) com x_{1}=-1{,}44:
Calcular f(-1{,}44):
(-1{,}44)^{2}=2{,}0736,\qquad \dfrac{3}{2{,}0736}=1{,}446428571\ldots
f(-1{,}44)=\tfrac{1}{2}\!\left(-1{,}44+1{,}446428571\ldots\right) =0{,}0032142857\ldots
Calcular f'(-1{,}44):
(-1{,}44)^{3}=-2{,}985984,\qquad \dfrac{6}{-2{,}985984}=-2{,}009393\ldots
f'(-1{,}44)=\tfrac{1}{2}\!\left(1-(-2{,}009393\ldots)\right) =\tfrac{1}{2}\!(3{,}009393\ldots)=1{,}5046965\ldots
Aplicando Newton:
x_{2}= -1{,}44 - \frac{0{,}0032142857\ldots}{1{,}5046965\ldots} \approx -1{,}44 - 0{,}0021359 = -1{,}4421359.
Diferença: |x_{2}-x_{1}| \approx 0{,}0021359 > 5\times10^{-4}, então continua.

Passo 6

Terceira iteração ( n=2 n=3) com x_{2}\approx -1{,}4421359:
Calcular x_{2}^{2} e x_{2}^{3} (valores aproximados já arredondados com cuidado):
x_{2}^{2}\approx 2{,}0797565,\qquad \dfrac{3}{x_{2}^{2}}\approx 1{,}442571\ldots
f(x_{2})=\tfrac{1}{2}\!\left(x_{2}+\dfrac{3}{x_{2}^{2}}\right) \approx \tfrac{1}{2}\!\bigl(-1{,}4421359 + 1{,}442571\ldots\bigr) \approx 0{,}00021705.
x_{2}^{3}\approx -2{,}99929137,\qquad \dfrac{6}{x_{2}^{3}}\approx -2{,}000472\ldots
f'(x_{2})=\tfrac{1}{2}\!\left(1-\dfrac{6}{x_{2}^{3}}\right) \approx \tfrac{1}{2}\!(1+2{,}000472\ldots)=1{,}500236\ldots
Aplicando Newton:
x_{3}= x_{2} - \frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})} \approx -1{,}4421359 - \frac{0{,}00021705}{1{,}500236} \approx -1{,}4421359 - 0{,}0001447 \approx -1{,}4422806.
Calcular diferença:
|x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}0001447 < 5\times 10^{-4}.
Portanto o critério de parada para 3 casas decimais foi satisfeito.

Passo 7

Interpretação final: a sequência está convergindo rapidamente para a raiz real. A aproximação obtida \,x_{3}\approx -1{,}4422806\, já está dentro da tolerância exigida, e ao arredondar para 3 casas decimais obtém-se -1{,}442.

Resposta

-1{,}442

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