Integrando por partes, prove que
\mathcal{L}\{\cos (a t)\}=\frac{s}{s^{2}+k^{2}}, a \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace
\mathcal{L}\{\cos(at)\} \;=\;\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt,
usando integração por partes. Vamos supor s>0 para garantir que os termos de fronteira em t\to\infty vão a zero.

Passo 2

Aplicando integração por partes em \displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt,
escolhemos
u=\cos(at),\quad dv=e^{-st}dt
du=-a\sin(at)\,dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Logo,
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt =\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\cos(at)\Bigr]_{0}^{\infty} -\int_{0}^{\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr)\bigl(-a\sin(at)\bigr)\,dt.
Como em t\to\infty o termo e^{-st}\cos(at)\to0 e em t=0 vale \tfrac{-1}{s}\cdot1, obtemos
\mathcal{L}\{\cos(at)\} =\frac{1}{s}-\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(at)\,dt =\frac{1}{s}-\frac{a}{s}\,\mathcal{L}\{\sin(at)\}.

Passo 3

Agora integramos por partes \displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(at)\,dt
com
u=\sin(at),\quad dv=e^{-st}dt
du=a\cos(at)\,dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Isto dá
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(at)\,dt =\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\sin(at)\Bigr]_{0}^{\infty} +\frac{a}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt =\frac{a}{s}\,\mathcal{L}\{\cos(at)\}.
Portanto
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s}\,\mathcal{L}\{\cos(at)\}.

Passo 4

Voltando à expressão de \mathcal{L}\{\cos(at)\}, substituímos \mathcal{L}\{\sin(at)\}:
\mathcal{L}\{\cos(at)\} =\frac{1}{s}-\frac{a}{s}\cdot\frac{a}{s}\,\mathcal{L}\{\cos(at)\} =\frac{1}{s}-\frac{a^{2}}{s^{2}}\,\mathcal{L}\{\cos(at)\}.
Agrupando \mathcal{L}\{\cos(at)\} num lado,
\mathcal{L}\{\cos(at)\}\Bigl(1+\frac{a^{2}}{s^{2}}\Bigr) =\frac{1}{s},
\mathcal{L}\{\cos(at)\} =\frac{1/s}{1 + a^{2}/s^{2}} =\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}.

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