Os limites
\lim _{x \rightarrow-1^{+}} \frac{3 x^{2}-4}{1-x^{2}} \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2 x+1}{x^{2}+x} e \lim _{x \rightarrow 0^{-}}|x|= valem respectivamente:
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4

Passo 1

O enunciado pede calcular três limites: \displaystyle L_1 = \lim_{x\to -1^+}\frac{3x^2-4}{1-x^2}, \displaystyle L_2 = \lim_{x\to 0^+}\frac{2x+1}{x^2+x}, \displaystyle L_3 = \lim_{x\to 0^-}|x|.
O conteúdo aqui envolve limites que podem divergir (quando o denominador vai a zero) e o comportamento da função valor absoluto.

Passo 2

Analisando \displaystyle L_1 = \lim_{x\to -1^+}\frac{3x^2-4}{1-x^2}:
  1. O numerador tende a \displaystyle 3(-1)^2-4=3-4=-1 não nulo.
  2. O denominador factoriza como \displaystyle 1-x^2=(1-x)(1+x).
    Para x\to -1^+, temos 1+x\to0^+ e 1-x\to2. Logo o denominador \to0^+.
  3. Portanto a razão tende a \displaystyle \frac{-1}{\text{pequeno positivo}}=-\infty.

Passo 3

Analisando \displaystyle L_2 = \lim_{x\to 0^+}\frac{2x+1}{x^2+x}:
  1. O numerador tende a 2\cdot0+1=1>0.
  2. O denominador escreve-se \displaystyle x^2+x = x(x+1).
    Para x\to0^+, x\to0^+ e x+1\to1, de modo que o denominador \to0^+.
  3. Logo \displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x}\to \frac{1}{\text{pequeno positivo}}=+\infty.

Passo 4

Analisando \displaystyle L_3 = \lim_{x\to 0^-}|x|:
Para x<0, |x|=-x. Quando x\to0^-, -x\to0^+. Portanto \displaystyle L_3 = 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -1^+}\frac{3x^2-4}{1-x^2}=-\infty,\quad \lim_{x\to 0^+}\frac{2x+1}{x^2+x}=+\infty,\quad \lim_{x\to 0^-}|x|=0.

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