8- Determine e desenhe a reta que melhor ajusta os dados da tabela abaixo, utilizando método dos mínimos quadrados.
x 1 2 3 4 5
y 4,2 3,5 3,0 2,4 2,0

Passo 1

O enunciado fornece os pares (x_i,y_i) abaixo e pede a reta de regressão linear pelo método dos mínimos quadrados. A ideia é ajustar uma reta
y = a + b\,x
que minimize a soma dos quadrados dos resíduos. As fórmulas para os coeficientes são
b = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2},
a = \frac{\sum y_i - b\sum x_i}{n}.

Passo 2

Para aplicar as fórmulas, calculamos as somas dos dados:
\sum x_i = 1+2+3+4+5 = 15,
\sum y_i = 4,2 + 3,5 + 3,0 + 2,4 + 2,0 = 15,1,
\sum x_i^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 = 55,
\sum x_i y_i = 1\cdot4,2 + 2\cdot3,5 + 3\cdot3,0 + 4\cdot2,4 + 5\cdot2,0 = 39,8.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle b e \displaystyle a:
b = \frac{5\cdot39,8 - 15\cdot15,1}{5\cdot55 - 15^2} = \frac{199,0 - 226,5}{275 - 225} = \frac{-27,5}{50} = -0,55,
a = \frac{15,1 - (-0,55)\cdot15}{5} = \frac{15,1 + 8,25}{5} = \frac{23,35}{5} = 4,67.

Passo 4

Portanto a reta de regressão é
y = 4,67 - 0,55\,x.
Para desenhar essa reta no gráfico, basta marcar dois pontos, por exemplo em x=0 temos y=4,67 e em x=5 temos y=4,67 - 0,55\cdot5 = 1,92, traçar a linha que passa por esses pontos e comparar com os pontos observados.

Resposta

A reta ajustada pelos mínimos quadrados é
y = 4,67 - 0,55\,x.

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