( Valor =1,5) Considerando a seguinte equação:
\frac{p_{1}}{\gamma}+\alpha_{1} \frac{V_{1}^{2}}{2 g}+z_{1}=\frac{p_{2}}{\gamma}+\alpha_{2} \frac{V_{2}^{2}}{2 g}+z_{2} \pm w_{S}+\operatorname{perdas}_{1-2}
Explique com suas palavras:
a) Os índices " 2 " se referem a um ponto em uma linha de corrente a jusante de um ponto " 1 "?
b) O que representa o termo \alpha ? Esse termo pode assumir valores maiores do que " 1 "? E inferiores a " 1 "?
c) Esta equação pode ser utilizada para um escoamento transiente?
d) A equação é alterada se for considerado um fluido ideal? Em caso afirmativo, mostre como ela fica.
e) O que representa o termo w_{S} ? Quando se utiliza “+” ou “-”?

Passo 1

O enunciado apresenta a forma geral da equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente, incluindo fatores de correção de energia cinética ( \alpha), perdas de carga, e trabalho de eixo ( w_{S}). O conteúdo é Mecânica dos Fluidos, mais precisamente a aplicação da equação de Bernoulli para escoamento real com bombas/turbinas e perdas. Vamos explicar cada termo qualitativamente.

Passo 2

a) Os índices “1” e “2” indicam dois pontos distintos sobre a mesma linha de corrente. O ponto “2” situa-se a jusante (isto é, na direção do escoamento) em relação ao ponto “1”. Logo, tudo que for calculado em “2” corresponde às condições de pressão, velocidade e altitude depois de “1”.

Passo 3

b) O fator \alpha é o coeficiente de correção de energia cinética, definido como
\alpha = \frac{\displaystyle \int_A v^3 \,\mathrm{d}A}{\displaystyle V^3 \, A},
onde v é a velocidade local e V a velocidade média na seção. Ele corrige a energia cinética para perfis de velocidade não uniformes. Em escoamentos reais não estritamente plug flow, \alpha>1. No caso ideal de perfil uniforme, \alpha=1. Pela desigualdade de Hölder (ou Cauchy–Schwarz), nunca ocorre \alpha<1.

Passo 4

c) Essa forma da equação de Bernoulli pressupõe escoamento permanente (steady). Em um escoamento transiente (não‐steady) surgem termos adicionais de aceleração local \partial V/\partial t, que não estão contemplados aqui. Portanto, não se usa esta versão para transitórios.

Passo 5

d) Para um fluido ideal (incompressível e sem viscosidade) e sem bombas ou turbinas, desprezam‐se as perdas de carga e o trabalho de eixo, e costuma‐se tomar \alpha=1. A equação fica então
\frac{p_{1}}{\gamma} + \frac{V_{1}^{2}}{2\,g} + z_{1} = \frac{p_{2}}{\gamma} + \frac{V_{2}^{2}}{2\,g} + z_{2}.

Passo 6

e) O termo w_{S} representa a energia por unidade de peso fornecida (ou retirada) por uma máquina rotativa: bomba (adição de energia) ou turbina (extração). Usa-se “ +w_{S}” quando o fluido recebe energia (bomba) e “ -w_{S}” quando perde energia (turbina).

Resposta

a) O índice “2” refere‐se a um ponto a jusante do ponto “1” sobre a mesma linha de corrente.
b) \alpha é o coeficiente de correção de energia cinética para perfis de velocidade não uniformes. Tem valor igual a 1 para perfil uniforme e crescentes valores (>1) conforme o perfil se torna mais distorcido. Teoricamente \alpha\ge1.
c) Não. A equação apresentada é válida apenas para escoamento permanente. Para transitórios aparecem termos de aceleração local que não estão incluídos.
d) Sim. Para fluido ideal sem perdas e sem máquina, com \alpha=1, obtém-se
\frac{p_{1}}{\gamma} + \frac{V_{1}^{2}}{2g} + z_{1} = \frac{p_{2}}{\gamma} + \frac{V_{2}^{2}}{2g} + z_{2}.
e) w_{S} é o trabalho de eixo por unidade de peso do fluido: positivo para bombas (adição de energia) e negativo para turbinas (remoção de energia).

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