Dada a função f(x)=x^3+3 x-2 pede-se
determine um intervalo I que somente contenha a primeira raiz alpha positiva de f(x)=0. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo I que contenha apenas a primeira raiz positiva alpha da equação
f(x)=x^3+3x-2=0
O que vamos usar:
  • Teorema do valor intermediário (continuidade e mudança de sinal) para garantir existência de raiz em um intervalo.
  • Monotonicidade de f (via f') para assegurar unicidade da raiz.

Passo 2

Mostramos que f é estritamente crescente em R. Calculamos a derivada:
f'(x)=3x^2+3>0para todo real x
Como f'(x)>0, f é injetora e portanto tem no máximo uma raiz real.

Passo 3

Para achar um intervalo inicial, avaliamos em x=0 e x=1:
f(0)=0^3+3cdot0-2=-2<0,
f(1)=1^3+3cdot1-2=2>0
Houve mudança de sinal, logo pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz alpha em (0,1).

Passo 4

Refinamos o intervalo avaliando em x=0,5 e x=0,6:
f(0,5)=0,5^3+3cdot0,5-2 =0,125+1,5-2=-0,375<0,
f(0,6)=0,6^3+3cdot0,6-2 =0,216+1,8-2=0,016>0
Há mudança de sinal em (0,5,0,6) e, como f é estritamente crescente, só pode haver uma raiz nesse intervalo.

Resposta

Um intervalo que contém apenas a primeira raiz positiva alpha é
I=(0,5,,0,6)

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