Dada a função
pede-se
determine um intervalo
que somente contenha a primeira raiz
positiva de
. Justifique.
determine um intervalo
Passo 1
O enunciado pede um intervalo
que contenha apenas a primeira raiz positiva
da equação
O que vamos usar:
- Teorema do valor intermediário (continuidade e mudança de sinal) para garantir existência de raiz em um intervalo.
- Monotonicidade de
(via ) para assegurar unicidade da raiz.
Passo 2
Mostramos que
é estritamente crescente em
. Calculamos a derivada:
Como
,
é injetora e portanto tem no máximo uma raiz real.
Passo 3
Para achar um intervalo inicial, avaliamos em
e
:
Houve mudança de sinal, logo pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz
em
.
Passo 4
Refinamos o intervalo avaliando em
e
:
Há mudança de sinal em
e, como
é estritamente crescente, só pode haver uma raiz nesse intervalo.
Resposta
Um intervalo que contém apenas a primeira raiz positiva
é