Mostre que no Método da Dicotomia vale a igualdade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrarmos que, no Método da Dicotomia (que é o Método da Bissecção), a diferença entre duas aproximações consecutivas,
, é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o Método da Dicotomia, que divide o intervalo
em partes iguais a cada iteração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como o Método da Dicotomia funciona. A cada passo
, a gente divide o intervalo atual em duas partes iguais, pegando o ponto médio. Isso significa que, a cada iteração, o tamanho do intervalo é reduzido pela metade.
Passo 3
Vamos estabelecer que, no passo
, o tamanho do intervalo é
. Isso porque a cada passo a gente divide o intervalo anterior por 2. No passo 0, o tamanho é
. No passo 1, é
, no passo 2,
, e assim por diante.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a diferença entre duas aproximações consecutivas, ou seja,
. Sabemos que
é o ponto médio no passo
e
é o ponto médio no passo
.
Passo 5
A diferença entre
e
vai ser metade do tamanho do intervalo no passo
, porque no passo
dividimos esse intervalo novamente. Portanto:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, mostramos que no Método da Dicotomia vale: