Mostre que no Método da Dicotomia vale a igualdade
|xn-xn-1|=b-a2^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrarmos que, no Método da Dicotomia (que é o Método da Bissecção), a diferença entre duas aproximações consecutivas, |xn - xn-1| , é igual a b - a2^n+1 . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o Método da Dicotomia, que divide o intervalo [a, b] em partes iguais a cada iteração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o Método da Dicotomia funciona. A cada passo n , a gente divide o intervalo atual em duas partes iguais, pegando o ponto médio. Isso significa que, a cada iteração, o tamanho do intervalo é reduzido pela metade.

Passo 3

Vamos estabelecer que, no passo n , o tamanho do intervalo é b - a2^n . Isso porque a cada passo a gente divide o intervalo anterior por 2. No passo 0, o tamanho é b - a . No passo 1, é b - a2 , no passo 2, b - a4 = b - a2^2 , e assim por diante.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a diferença entre duas aproximações consecutivas, ou seja, |xn - xn-1| . Sabemos que xn é o ponto médio no passo n e xn-1 é o ponto médio no passo n-1 .

Passo 5

A diferença entre xn e xn-1 vai ser metade do tamanho do intervalo no passo n-1 , porque no passo n dividimos esse intervalo novamente. Portanto:
|xn - xn-1| = 12 times b - a2^n

Passo 6

Simplificando a expressão:
|xn - xn-1| = b - a2^n+1

Resposta

Portanto, mostramos que no Método da Dicotomia vale:
|xn - xn-1| = b - a2^n+1

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