(IBFC/2023 - Pref. Cuiabá) Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro lambda, ou seja, X sim P(lambda) dada por:
P(X=k)=e^-lambda lambda^kk!, para k=0,1,2, ldots
Analise as afirmativas abaixo:
I. O valor esperado e a variância de X é dado por lambda.
II. A distribuição de Poisson é uma aproximação da distribuição geométrica
III. A distribuição de Poisson é utilizada na análise de dados de contagem.
Assinale a alternativa correta.
a) As afirmativas I, II e III estão corretas.
b) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
c) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
d) Apenas a afirmativa II está correta.

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória Xsim P(lambda) com
P(X=k)=e^-lambdalambda^kk!, k=0,1,2,dots
e pede para analisar três afirmativas sobre (I) valor esperado e variância, (II) aproximação de outra distribuição e (III) aplicação em dados de contagem.

Passo 2

Para conferir a afirmativa I usamos a teoria básica da distribuição de Poisson, que diz que
E[X]=lambda
e
Var(X)=lambda
Logo, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

A afirmativa II diz que a Poisson aproxima a distribuição geométrica. Na verdade, a distribuição de Poisson surge como limite da binomial Bin(n,p) quando ntoinfty, pto0 e np=lambda. Não há relação de aproximação direta com a geométrica. Portanto, a afirmativa II é falsa.

Passo 4

A afirmativa III indica que a Poisson é usada para analisar dados de contagem (número de eventos em intervalos de tempo ou espaço). Isso é exatamente a aplicação clássica de Poisson. Logo, a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

c) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.

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