Dado o intervalo [a, b], mostre que no Método da Dicotomia o número de iterações, n, para que |alpha-x|<varepsilon, deve satisfazer
n >= ln ((b-a) / varepsilon)ln 2-1

Passo 1

O enunciado pede para estimar o número de iterações n no método da dicotomia (ou bisseção) aplicado ao intervalo [a,b] de modo que a aproximação xn satisfaça lvert alpha - xnrvert<varepsilon.

Passo 2

No método da dicotomia, em cada iteração dividimos o intervalo atual ao meio. Portanto, após n iterações o comprimento do subintervalo é
Ln = b - a2^n

Passo 3

Como escolhemos xn como o ponto médio desse subintervalo, a distância até a raiz real alpha fica no máximo metade do comprimento do intervalo:
lvert alpha - xnrvert <= Ln2 = b - a2^n+1

Passo 4

Queremos lvert alpha - xnrvert < varepsilon. Basta então impor
b - a2^n+1 < varepsilon

Passo 5

Reescrevendo a desigualdade acima em potências de 2, temos
2^n+1 > b - avarepsilon
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
(n+1),ln 2 > ln!l(tfracb - avarepsilonr)
Isolando n:
n > ln!l(tfracb - avarepsilonr)ln 2 - 1

Resposta

n >= ln!l(tfracb - avarepsilonr)ln 2 - 1

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