Dada a função f(x)=15 x^5-103 x^3+9 x+2, pede-se:
O(s) intervalo(s) de crescimento e decrescimento da função

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=tfrac15x^5-tfrac103x^3+9x+2
e pede os intervalos em que f cresce ou decresce. Para isso, precisamos calcular a derivada f'(x) e estudar seu sinal.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(tfrac15x^5-tfrac103x^3+9x+2r) =x^4-10x^2+9

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
x^4-10x^2+9=0
Fazendo u=x^2 fica u^2-10u+9=0, cujas raízes são u=1 e u=9. Assim
x^2=1implies x=pm1, x^2=9implies x=pm3

Passo 4

Fatoramos f'(x) para facilitar o estudo de sinal:
f'(x)=x^4-10x^2+9 =(x^2-1)(x^2-9) =(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)

Passo 5

Estudamos o sinal de f'(x) nos intervalos determinados por -3,-1,1,3:
  • Para x>3: todos os fatores são positivos implies f'(x)>0.
  • Para 1<x<3: só x-3<0 implies f'(x)<0.
  • Para -1<x<1: x-3<0 e x-1<0 (dois fatores negativos) implies f'(x)>0.
  • Para -3<x<-1: três fatores negativos implies f'(x)<0.
  • Para x<-3: quatro fatores negativos implies f'(x)>0.

Passo 6

Concluímos que f'(x)>0 (cresce) em (-infty,-3), ( -1,1) e (3,infty), e f'(x)<0 (decresce) em (-3,-1) e (1,3).

Resposta

Intervalos de crescimento: (-infty,-3)cup(-1,1)cup(3,infty)
Intervalos de decrescimento: (-3,-1)cup(1,3)

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