Dada a função f(x)=15 x^5-103 x^3+9 x+2, pede-se:
O(s) ponto(s) de máximo e mínimo relativo, caso existam

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=15x^5-103x^3+9x+2
e pede os pontos de máximo e mínimo relativo. Para resolver, vamos calcular a derivada primeira f'(x) para achar os pontos críticos e depois usar a derivada segunda f''(x) para classificar cada ponto como máximo ou mínimo.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(tfrac15x^5r)-ddxl(tfrac103x^3r)+ddx(9x)+ddx(2)
f'(x)=x^4-10x^2+9
Fatorando,
f'(x)=(x^2-1)(x^2-9)=0
Logo, os pontos críticos são
x=pm1, x=pm3

Passo 3

Agora a derivada segunda:
f''(x)=ddx(x^4-10x^2+9)=4x^3-20x=4x(x^2-5)
Avaliamos em cada ponto crítico:
,x=-3:;f''(-3)=4cdot(-3)l(9-5r)=-48<0, máximo relativo.
,x=-1:;f''(-1)=4cdot(-1)l(1-5r)=16>0, mínimo relativo.
,x=1:;f''(1)=4cdot1l(1-5r)=-16<0, máximo relativo.
,x=3:;f''(3)=4cdot3l(9-5r)=48>0, mínimo relativo.

Passo 4

Para completar, calculamos f(x) em cada ponto:
f(-3)=15(-3)^5-103(-3)^3+9(-3)+2=825,
f(-1)=15(-1)^5-103(-1)^3+9(-1)+2=-5815,
f(1)=15(1)^5-103(1)^3+9(1)+2=11815,
f(3)=15(3)^5-103(3)^3+9(3)+2=-625

Resposta

Máximos relativos em
(-3,tfrac825) e ,(1,tfrac11815).
Mínimos relativos em
(-1,-tfrac5815) e (3,-tfrac625).

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