Dada a função
, pede-se:
(s) intervalo(s) em que a função tem concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede os intervalos em que ela é côncava para cima (ou seja, onde a concavidade está “para cima”) e côncava para baixo. Para isso, vamos calcular a segunda derivada
e estudar onde
(concavidade para cima) e onde
(concavidade para baixo).
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada primeira
. Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora derivamos novamente para obter a segunda derivada
:
Passo 4
Para encontrar possíveis pontos de inflexão, resolvemos
:
Isso dá as raízes
Passo 5
Para determinar o sinal de
em cada região, escolhemos pontos de teste em cada intervalo determinado por
,
,
,
e
:
- Para
, temos e , logo . Então . - Para
, temos e , logo . Então . - Para
, temos e , logo . Então . - Para
, temos e , logo . Então .
Resposta
Concavidade voltada para cima (onde
):
Concavidade voltada para baixo (onde
):