Dada a função f(x)=15 x^5-103 x^3+9 x+2, pede-se:
O (s) intervalo(s) em que a função tem concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=15x^5-103x^3+9x+2
e pede os intervalos em que ela é côncava para cima (ou seja, onde a concavidade está “para cima”) e côncava para baixo. Para isso, vamos calcular a segunda derivada f''(x) e estudar onde f''(x)>0 (concavidade para cima) e onde f''(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada primeira f'(x). Derivando termo a termo:
f'(x)=ddxl(tfrac15x^5r)-ddxl(tfrac103x^3r)+ddx(9x)+ddx(2)
f'(x)=x^4-10x^2+9

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter a segunda derivada f''(x):
f''(x)=ddxl(x^4-10x^2+9r)
f''(x)=4x^3-20x

Passo 4

Para encontrar possíveis pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0:
4x^3-20x=0
4x,(x^2-5)=0
Isso dá as raízes
x=0, x=pmraiz5

Passo 5

Para determinar o sinal de f''(x) em cada região, escolhemos pontos de teste em cada intervalo determinado por -infty, -raiz5, 0, raiz5 e +infty:
  • Para x<-raiz5, temos x<0 e x^2-5>0, logo 4x(x^2-5)<0. Então f''(x)<0.
  • Para -raiz5<x<0, temos x<0 e x^2-5<0, logo 4x(x^2-5)>0. Então f''(x)>0.
  • Para 0<x<raiz5, temos x>0 e x^2-5<0, logo 4x(x^2-5)<0. Então f''(x)<0.
  • Para x>raiz5, temos x>0 e x^2-5>0, logo 4x(x^2-5)>0. Então f''(x)>0.

Resposta

Concavidade voltada para cima (onde f''(x)>0):
l(-raiz5,,0r)cupl(raiz5,,+inftyr)
Concavidade voltada para baixo (onde f''(x)<0):
l(-infty,,-raiz5r)cupl(0,,raiz5r)

Exercícios relacionados