Mostre que a função f verifica as condições do teorema de Rolle no intervalo [-2,2] e encontre o(s) número(s) que satisfaz(em) a conclusão do teorema.
Seja a função real definida por f(x)=ln (-x^2+9).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=lnl(-x^2+9r)
e pede para mostrar que ela satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo [-2,2] (continuidade em [-2,2], diferenciabilidade em (-2,2) e f(-2)=f(2)) e, em seguida, encontrar o(s) c em (-2,2) tal que f'(c)=0.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de . Como o argumento do logaritmo deve ser positivo,
Portanto , o que garante que é contínua em e diferenciável em , pois o logaritmo composto com uma função polinomial é suave onde definido.

Passo 3

Agora calculamos os valores nos extremos:
f(-2)=lnl(-(-2)^2+9r)=ln(9-4)=ln5,
f(2)=lnl(-(2)^2+9r)=ln(9-4)=ln5
Logo f(-2)=f(2)=ln5.

Passo 4

Como f é contínua em [-2,2], diferenciável em (-2,2) e f(-2)=f(2), todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas. Logo existe ao menos um cin(-2,2) tal que
f'(c)=0

Passo 5

Para encontrar c, computamos a derivada usando a regra da cadeia. Seja u(x)=9-x^2, então
u'(x)=-2x,
e como f(x)=ln(u(x)) temos
f'(x)=u'(x)u(x)=-2x9-x^2
Para zerar f'(x) basta anular o numerador:
-2x=0Longrightarrow x=0
Logo o único c em (-2,2) que satisfaz f'(c)=0 é c=0.

Resposta

O teorema de Rolle vale para f em [-2,2] e o número que satisfaz f'(c)=0 é
c=0

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