Mostre que a função
verifica as condições do teorema de Rolle no intervalo
e encontre
número(s) que satisfaz(em) a conclusão do teorema.
Seja a função real definida por
.
Seja a função real definida por
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que ela satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo
(continuidade em
, diferenciabilidade em
e
) e, em seguida, encontrar o(s)
em
tal que
.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio de
. Como o argumento do logaritmo deve ser positivo,
Portanto , o que garante que
é contínua em
e diferenciável em
, pois o logaritmo composto com uma função polinomial é suave onde definido.
Passo 3
Agora calculamos os valores nos extremos:
Logo
.
Passo 4
Como
é contínua em
, diferenciável em
e
, todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas. Logo existe ao menos um
tal que
Passo 5
Para encontrar
, computamos a derivada usando a regra da cadeia. Seja
, então
e como
temos
Para zerar
basta anular o numerador:
Logo o único
em
que satisfaz
é
.
Resposta
O teorema de Rolle vale para
em
e o número que satisfaz
é