Determine as funções polinomais p(x) de grau 3 tais que p(x)-p(x-1)=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os polinômios de grau 3 que satisfazem
p(x)-p(x-1)=x^2.
Isto envolve usar um polinômio genérico de grau 3, aplicar a operação de diferença e igualar ao polinômio dado.

Passo 2

Suponha
p(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
Então
p(x)-p(x-1) =a\bigl(x^3-(x-1)^3\bigr)+b\bigl(x^2-(x-1)^2\bigr)+c\bigl(x-(x-1)\bigr).
Como
x^3-(x-1)^3=3x^2-3x+1,\quad x^2-(x-1)^2=2x-1,\quad x-(x-1)=1,
segue
p(x)-p(x-1)=a(3x^2-3x+1)+b(2x-1)+c.

Passo 3

Igualando a x^2 termo a termo, obtemos o sistema
3a=1,\quad -3a+2b=0,\quad a - b + c=0.
Daí
a=\tfrac13,\quad b=\tfrac12,\quad c=\tfrac16,
e d permanece livre (some na diferença).

Resposta

As soluções são
p(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x+d,
onde d\in\mathbb{R} é constante arbitrária.

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