(5) Determinar os pontos críticos e os valores extremos de f(x, y)=x y+4 sujeita a restrição $x{2}+y{2}=18.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é a seguinte: precisamos encontrar os pontos críticos e os valores extremos da função f(x, y) = x y + 4 , mas com uma condição extra que diz que x^2 + y^2 = 18 . Isso significa que estamos procurando os valores máximos e mínimos de f(x, y) dentro de um círculo de raio raiz18. Para isso, vamos usar um método chamado multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica que nos permite encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é que, no ponto extremo, o gradiente da função que queremos otimizar ( nabla f ) seja paralelo ao gradiente da restrição ( nabla g ). Isso dá uma relação que podemos resolver para encontrar os pontos críticos.

Passo 3

Vamos definir nossa função e a restrição:
  • Função a otimizar: f(x, y) = x y + 4
  • Restrição: g(x, y) = x^2 + y^2 - 18 = 0

Passo 4

Calculamos os gradientes de f e g :
  • nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (y, x)
  • nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y ) = (2x, 2y)

Passo 5

Segundo os multiplicadores de Lagrange, existe um número lambda (o multiplicador) tal que:
nabla f = lambda nabla g
Ou seja:
(y, x) = lambda (2x, 2y)
Isso nos dá duas equações:
  1. y = 2lambda x
  2. x = 2lambda y

Passo 6

Vamos resolver essas equações. Da primeira equação, podemos expressar lambda:
lambda = y2x
Da segunda equação:
lambda = x2y
Como lambda deve ser igual nas duas expressões:
y2x = x2y

Passo 7

Resolvendo a equação acima:
y2x = x2y
Multiplicando ambos os lados por 2x2y para eliminar os denominadores:
y^2 = x^2
Então:
y = pm x

Passo 8

Agora, usamos a restrição x^2 + y^2 = 18 . Substituindo y = x :
x^2 + x^2 = 18 Rightarrow 2x^2 = 18 Rightarrow x^2 = 9 Rightarrow x = pm 3
Então, quando y = x , os pontos são (3, 3) e (-3, -3) .
E substituindo y = -x :
x^2 + (-x)^2 = 18 Rightarrow 2x^2 = 18 Rightarrow x^2 = 9 Rightarrow x = pm 3
Então, quando y = -x , os pontos são (3, -3) e (-3, 3) .

Passo 9

Agora, vamos calcular os valores de f(x, y) nesses pontos para encontrar os extremos:
  • Em (3, 3) : f = 3 times 3 + 4 = 13
  • Em (-3, -3) : f = (-3) times (-3) + 4 = 13
  • Em (3, -3) : f = 3 times (-3) + 4 = -5
  • Em (-3, 3) : f = (-3) times 3 + 4 = -5

Resposta

Os pontos críticos são (3, 3) , (-3, -3) , (3, -3) e (-3, 3) . Os valores extremos da função f(x, y) = x y + 4 são:
  • Valor máximo de 13 em (3, 3) e (-3, -3)
  • Valor mínimo de -5 em (3, -3) e (-3, 3)

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