(5) Determinar os pontos críticos e os valores extremos de
sujeita a restrição $x{2}+y{2}=18.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é a seguinte: precisamos encontrar os pontos críticos e os valores extremos da função
, mas com uma condição extra que diz que
. Isso significa que estamos procurando os valores máximos e mínimos de
dentro de um círculo de raio
. Para isso, vamos usar um método chamado multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. É uma técnica que nos permite encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é que, no ponto extremo, o gradiente da função que queremos otimizar (
) seja paralelo ao gradiente da restrição (
). Isso dá uma relação que podemos resolver para encontrar os pontos críticos.
Passo 3
Vamos definir nossa função e a restrição:
- Função a otimizar:
- Restrição:
Passo 4
Calculamos os gradientes de
e
:
Passo 5
Segundo os multiplicadores de Lagrange, existe um número
(o multiplicador) tal que:
Ou seja:
Isso nos dá duas equações:
Passo 6
Vamos resolver essas equações. Da primeira equação, podemos expressar
:
Da segunda equação:
Como
deve ser igual nas duas expressões:
Passo 7
Resolvendo a equação acima:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Então:
Passo 8
Agora, usamos a restrição
. Substituindo
:
Então, quando
, os pontos são
e
.
E substituindo
:
Então, quando
, os pontos são
e
.
Passo 9
Agora, vamos calcular os valores de
nesses pontos para encontrar os extremos:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
Resposta
Os pontos críticos são
,
,
e
. Os valores extremos da função
são:
- Valor máximo de 13 em
e - Valor mínimo de -5 em
e