(4) Determinar e classificar os pontos críticos da função
Passo 1
Estamos lidando com a função de duas variáveis
. O objetivo é encontrar os pontos críticos (onde o gradiente some) e depois classificá-los usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, primeiro calculamos as derivadas parciais. Em bloco, temos:
Passo 3
Agora igualamos as duas derivadas a zero e resolvemos o sistema. Da primeira equação vem
e da segunda
Substituindo
na segunda, chegamos a
, logo
. Voltando para
, obtemos
.
Passo 4
Para classificar, montamos a matriz Hessiana. Suas entradas são:
Passo 5
Avaliando em
, temos
O discriminante é
o que implica ponto de sela.
Passo 6
O único ponto crítico é
, e como o discriminante da Hessiana deu negativo, concluímos que é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico da função é (-1/2, -1/2) e é um ponto de sela.