(4) Determinar e classificar os pontos críticos da função
f(x, y)=4 x^2 y^2+x+y+4

Passo 1

Estamos lidando com a função de duas variáveis f(x,y)=4x^2y^2+x+y+4. O objetivo é encontrar os pontos críticos (onde o gradiente some) e depois classificá-los usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, primeiro calculamos as derivadas parciais. Em bloco, temos:
partial fpartial x=8xy^2+1
partial fpartial y=8x^2y+1

Passo 3

Agora igualamos as duas derivadas a zero e resolvemos o sistema. Da primeira equação vem
x y^2=-tfrac18
e da segunda
x^2y=-tfrac18
Substituindo x=-1/(8y^2) na segunda, chegamos a y^3=-tfrac18, logo y=-tfrac12. Voltando para x, obtemos x=-tfrac12.

Passo 4

Para classificar, montamos a matriz Hessiana. Suas entradas são:
partial^2 fpartial x^2=8y^2, partial^2 fpartial y^2=8x^2, partial^2 fpartial xpartial y=16xy

Passo 5

Avaliando em (-tfrac12,-tfrac12), temos
fxx=2,;fyy=2,;fxy=4
O discriminante é
D=fxxfyy-fxy^2=2cdot2-4^2=-12<0,
o que implica ponto de sela.

Passo 6

O único ponto crítico é (-tfrac12,-tfrac12), e como o discriminante da Hessiana deu negativo, concluímos que é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico da função é (-1/2, -1/2) e é um ponto de sela.

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