Dada a função real f: IR I R, cuja lei é f(x)=(x-1)^2-(x+2)^2+3. Determine o conjunto solução da equação f(x)=2 f^-1(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f: Rto R definida por
f(x) = (x-1)^2 - (x+2)^2 + 3
e pede para resolver a equação
f(x) = 2,f^-1(x)
O conteúdo necessário é envolvimento de funções inversas e solução de equações envolvendo a própria inversa.

Passo 2

Vamos primeiro simplificar a expressão de f(x). Desenvolvendo os quadrados:
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1, (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
Logo,
f(x) = l(x^2 - 2x + 1r) - l(x^2 + 4x + 4r) + 3 = -6x

Passo 3

Como f(x)=-6x é uma função afim de coeficiente angular -6neq0, ela é bijetora e, portanto, invertível. Para achar a inversa trocamos x por y e resolvemos
y = -6x Longrightarrow x = -y6
Isso mostra que
f^-1(x) = -x6

Passo 4

Substituímos f(x) e f^-1(x) na equação pedida:
f(x) = 2,f^-1(x) Longrightarrow -6x = 2l(-x6r) = -2x6 = -x3
Eliminando o sinal menos e multiplicando ambos os lados por 3:
6x = x3 Longrightarrow 18x = x Longrightarrow 17x = 0 Longrightarrow x = 0

Resposta

O conjunto solução da equação é 0.

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