Utilize coordenadas cilíndricas e calcule as integrais:
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integralx^2+y^2^2-x^2-y^2(x^2+y^2)^3 / 2 d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-1^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2integralx^2+y^2^2-x^2-y^2l(x^2+y^2r)^3/2,dz,dy,dx
usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo da matéria é mudança de variáveis em integrais triplas, e vamos precisar (1) descrever a região em termos de r,theta,z, (2) reescrever o integrando e o elemento de volume, e (3) calcular as integrais aninhadas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, x^2+y^2 = r^2
A projeção no plano xy é o disco x^2+y^2<=1, ou seja 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi. Para cada (r,theta), z varia de
z = r^2 até z = 2 - r^2 é

Passo 3

O integrando l(x^2+y^2r)^3/2 vira (r^2)^3/2=r^3 e o elemento de volume dx,dy,dz vira r,dr,dtheta,dz. Assim a integral torna-se
integral0^2piintegral0^1integralr^2^,2-r^2r^3;r,dz,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^1integralr^2^,2-r^2r^4,dz,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em z:
integralr^2^,2-r^2r^4,dz =r^4l[(2-r^2)-r^2r] =r^4l(2-2r^2r) =2,r^4,(1-r^2)
Logo a integral reduz-se a
integral0^2piintegral0^12,r^4(1-r^2),dr,dtheta

Passo 5

Separamos a parte em r e em theta:
2integral0^2pidtheta;integral0^1l(r^4-r^6r)dr =2,(2pi)l[tfracr^55-tfracr^77r]0^1 =4pil(tfrac15-tfrac17r) =4picdottfrac235 =tfrac8pi35

Resposta

8pi35

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