Determine os intervalos de números re Fazer a representaçào gráfica.
1x+1 >= 3x-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
1x+1;>=;3x-3
Isso envolve três etapas principais: (i) determinar o domínio de definição, (ii) reduzir tudo a um único quociente e estudar o sinal desse quociente, e (iii) representar graficamente a solução na reta numérica.

Passo 2

Primeiro, achamos o domínio de definição: como aparecem x+1 e x-3 no denominador, devemos ter
x+1neq 0 e x-3neq 0
ou seja
xneq -1 e xneq 3

Passo 3

Passamos tudo para um único lado da inequação com denominador comum:
1x+1-3x-3;>=;0 ;longrightarrow; (x-3)-3(x+1)(x+1)(x-3);>=;0
No numerador:
(x-3)-3(x+1)=x-3-3x-3=-2x-6=-2(x+3)
Logo a expressão fica
-2(x+3)(x+1)(x-3);>=;0
Multiplicando ambos os lados por -1 (inverte o sinal da inequação) e cancelando o fator 2>0, obtemos
x+3(x+1)(x-3);<=;0

Passo 4

Identificamos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador se anulam:
zero do numerador: x=-3, zeros do denominador: x=-1 e x=3
Em x=-1 e x=3 a expressão não existe; em x=-3 ela vale zero.

Passo 5

Fazemos o quadro de sinais de
x+3(x+1)(x-3)
nos intervalos definidos pelos pontos -3,,-1,,3:
Intervalo sinal de x+3 sinal de (x+1)(x-3) quociente
(-infty,-3) - (-)cdot(-)=+ - (-3,-1) + (-)cdot(-)=+ + (-1,3) + (+)cdot(-)=- - (3,infty) + (+)cdot(+)=+ +
Queremos onde o quociente é <=0, ou seja, negativo ou zero. Isso ocorre em
(-infty,-3)cup-3e(-1,3)
Note que -1 e 3 ficam de fora.

Passo 6

Representação gráfica na reta real: marque os pontos críticos -3,,-1,,3, use círculo fechado em -3 (zero permitido) e círculos abertos em -1 e 3, e sombreie os intervalos (-infty,-3] e (-1,3).

Resposta

boxedxin(-infty,-3];cup;(-1,3)
(na reta numérica, círculo fechado em -3, abertos em -1 e 3, sombreados os trechos correspondentes).

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