Determine os intervalos de números re Fazer a representaçào gráfica.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação racional
Isso envolve três etapas principais: (i) determinar o domínio de definição, (ii) reduzir tudo a um único quociente e estudar o sinal desse quociente, e (iii) representar graficamente a solução na reta numérica.
Passo 2
Primeiro, achamos o domínio de definição: como aparecem
e
no denominador, devemos ter
ou seja
Passo 3
Passamos tudo para um único lado da inequação com denominador comum:
No numerador:
Logo a expressão fica
Multiplicando ambos os lados por
(inverte o sinal da inequação) e cancelando o fator
, obtemos
Passo 4
Identificamos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador se anulam:
Em
e
a expressão não existe; em
ela vale zero.
Passo 5
Fazemos o quadro de sinais de
nos intervalos definidos pelos pontos
:
Intervalo | sinal de
|
sinal de
|
quociente | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Queremos onde o quociente é
, ou seja, negativo ou zero. Isso ocorre em
Note que
e
ficam de fora.
Passo 6
Representação gráfica na reta real: marque os pontos críticos
, use círculo fechado em
(zero permitido) e círculos abertos em
e
, e sombreie os intervalos
e
.
Resposta
(na reta numérica, círculo fechado em
, abertos em
e
, sombreados os trechos correspondentes).