Dada a função , responda cada um dos itens justificando sua resposta: é diferenciável nos pontos nos pontos sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem?
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se é diferenciável nos pontos tais que .
O conteúdo envolvido é a diferenciabilidade de funções compostas e, em especial, o comportamento do valor absoluto em zero.
Passo 2
Note que podemos escrever
Defina a função intermédia
g(x,y)=x^2+y^2-1,
que é diferenciável em toda parte, e a função unária
h(u)=|u|,
que não é diferenciável em u=0. Então f=hcirc g e nos pontos de interesse temos g(x,y)=0, exatamente onde h falha em ser diferenciável.
Passo 3
Para ver a falha de diferenciabilidade, calculemos o gradiente de f em cada região:
Em qualquer ponto da circunferência x^2+y^2=1 temos g=0. Para existir derivada total é preciso que os gradientes vindos de dentro e de fora coincidam. Mas nesses pontos
(2x,2y)neq(-2x,-2y)
sempre que (x,y)neq(0,0) — e (0,0) não pertence à circunferência de raio 1. Portanto os limites dos gradientes são diferentes e f não é diferenciável sobre x^2+y^2=1.
Resposta
A função f não é diferenciável em nenhum ponto da circunferência de raio 1.