Dada a função f(x, y)=raiz(x^2+y^2-1)^2, responda cada um dos itens justificando sua resposta:
f é diferenciável nos pontos nos pontos (x, y) sobre a circunferência de raio 1 centrada na origem?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=raizl(x^2+y^2-1r)^2
e pede para verificar se f é diferenciável nos pontos (x,y) tais que x^2+y^2=1.
O conteúdo envolvido é a diferenciabilidade de funções compostas e, em especial, o comportamento do valor absoluto em zero.

Passo 2

Note que podemos escrever
f(x,y)=l|,x^2+y^2-1r|
Defina a função intermédia
g(x,y)=x^2+y^2-1,
que é diferenciável em toda parte, e a função unária
h(u)=|u|,
que não é diferenciável em u=0. Então f=hcirc g e nos pontos de interesse temos g(x,y)=0, exatamente onde h falha em ser diferenciável.

Passo 3

Para ver a falha de diferenciabilidade, calculemos o gradiente de f em cada região:
  1. Se x^2+y^2>1, então g(x,y)>0 e
f(x,y)=g(x,y), nabla f(x,y)=nabla g(x,y)=(2x,2y)
  1. Se x^2+y^2<1, então g(x,y)<0 e
f(x,y)=-,g(x,y), nabla f(x,y)=-nabla g(x,y)=(-2x,-2y)

Passo 4

Em qualquer ponto da circunferência x^2+y^2=1 temos g=0. Para existir derivada total é preciso que os gradientes vindos de dentro e de fora coincidam. Mas nesses pontos
(2x,2y)neq(-2x,-2y)
sempre que (x,y)neq(0,0) — e (0,0) não pertence à circunferência de raio 1. Portanto os limites dos gradientes são diferentes e f não é diferenciável sobre x^2+y^2=1.

Resposta

A função f não é diferenciável em nenhum ponto da circunferência de raio 1.

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