& Questão 9 (Questão 29-Matemática 9-ASON-2014). Considere definida por . As equações das retas tangentes e normais ao gráfico de no ponto ( 1,2 ) são, respectivamente,
a) e .
b) e .
c) e .
d) e .
e) e .

Solução:

A derivada da função é . A reta tangente que passa pelo ponto é dada por
A reta normal a uma reta dada tem coeficiente de modo que
m}\cdot\mp@subsup{m}{2}{}=-1\mathrm{ portanto m}\mp@subsup{m}{2}{}=\frac{-1}{4},\frac{y-2}{x-1}=\frac{-1}{4}\operatorname{logo
\[\begin{aligned} & \frac{y-2}{x-1}=-\frac{1}{4} \\\ & 4 y+x-9=0 \end{aligned}\]
    4y+x-9=0.
    A resposta é letra C).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x e^x-1+x^2
e pede as equações da reta tangente e da reta normal ao seu gráfico no ponto (1,2).
Conteúdo: derivada de função (regra do produto e exponencial) e fórmula de reta a partir de coeficiente angular e ponto dado.

Passo 2

Calculamos a derivada f'(x). Para x e^x-1 usamos regra do produto:
ddxl(x e^x-1r)=1cdot e^x-1+xcdot e^x-1=e^x-1+x e^x-1
Como ddx(x^2)=2x, temos
f'(x)=e^x-1+x e^x-1+2x

Passo 3

Avaliando em x=1:
f'(1)=e^1-1+1cdot e^1-1+2cdot1=1+1+2=4
Logo o coeficiente angular da tangente é mrm t=4.

Passo 4

A reta tangente no ponto (1,2) com mrm t=4 obedece
y-2x-1=4
Rearranjando:
y-2=4(x-1) Longrightarrow y-4x+2=0

Passo 5

O coeficiente angular da reta normal é mrm n=-tfrac1mrm t=-tfrac14. Assim
y-2x-1=-14,
de onde
4(y-2)=-(x-1) Longrightarrow x+4y-9=0

Resposta

c) As equações são y-4x+2=0 (tangente) e x+4y-9=0 (normal).

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