& Questão 9 (Questão 29-Matemática 9-ASON-2014). Considere
definida por
. As equações das retas tangentes e normais ao gráfico de
no ponto ( 1,2 ) são, respectivamente,
a)
e
.
b)
e
.
c)
e
.
d)
e
.
e)
e
.
Solução:
A derivada da função é
. A reta tangente que passa pelo ponto
é dada por
A reta normal a uma reta dada tem coeficiente
de modo que
m}\cdot\mp@subsup{m}{2}{}=-1\mathrm{ portanto m}\mp@subsup{m}{2}{}=\frac{-1}{4},\frac{y-2}{x-1}=\frac{-1}{4}\operatorname{logo
\[\begin{aligned} & \frac{y-2}{x-1}=-\frac{1}{4} \\\ & 4 y+x-9=0 \end{aligned}\]
4y+x-9=0.
A resposta é letra C).
a)
b)
c)
d)
e)
m}\cdot\mp@subsup{m}{2}{}=-1\mathrm{ portanto m}\mp@subsup{m}{2}{}=\frac{-1}{4},\frac{y-2}{x-1}=\frac{-1}{4}\operatorname{logo
\[\begin{aligned} & \frac{y-2}{x-1}=-\frac{1}{4} \\\ & 4 y+x-9=0 \end{aligned}\]
4y+x-9=0.
A resposta é letra C).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as equações da reta tangente e da reta normal ao seu gráfico no ponto
.
Conteúdo: derivada de função (regra do produto e exponencial) e fórmula de reta a partir de coeficiente angular e ponto dado.
Conteúdo: derivada de função (regra do produto e exponencial) e fórmula de reta a partir de coeficiente angular e ponto dado.
Passo 2
Calculamos a derivada
. Para
usamos regra do produto:
Como
, temos
Passo 3
Avaliando em
:
Logo o coeficiente angular da tangente é
.
Passo 4
A reta tangente no ponto
com
obedece
Rearranjando:
Passo 5
O coeficiente angular da reta normal é
. Assim
de onde
Resposta
c) As equações são
(tangente) e
(normal).