Determine em que pontos as funções são contínuas:
f(x, y)=x y1+e^x-y

Passo 1

O enunciado pede para identificar os pontos de continuidade da função
f(x,y)=x,y1+e^,x-y
O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis e uso de propriedades de operações (produto, soma, exponencial e quociente) de funções contínuas.

Passo 2

Analisamos o domínio de f. As partes que aparecem são:
  1. (x,y)mapsto x e (x,y)mapsto y, definidas em todo R^2.
  2. A função exponencial (x,y)mapsto e^,x-y, também definida e contínua em todo R^2.
  3. O denominador 1+e^,x-y satisfaz
1+e^,x-y>1>0
para todo (x,y).
Logo não há divisão por zero e o domínio de f é todo R^2.

Passo 3

Sabemos que:
  • Soma, produto e exponencial são operações que preservam continuidade quando aplicadas a funções contínuas.
  • A recíproca umapsto1/u é contínua sempre que uneq0.
Como cada parte de
(x,y);longmapsto;x,y, (x,y);longmapsto;1+e^,x-y
é contínua em R^2 e 1+e^,x-y nunca se anula, a composição
(x,y)longmapstox,y1+e^,x-y
é contínua em todo o domínio, isto é, em todo R^2.

Resposta

A função f(x,y)=dfracx,y1+e^,x-y é contínua em todos os pontos de R^2.

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