Dada uma função e , se para uma sequência tal que , com vale que então .
Dê um contraexemplo para a afirmação falsa e modifique as hipóteses para que ela se torne verdadeira. Não é necessário provar essa nova afirmação verdadeira.
Passo 1
O enunciado quer usar um único caso sequencial para garantir limite de função. Mais precisamente, temos e . Ele afirma que, se existe alguma sequência com e tal que , então . O conteúdo aqui é a caracterização sequencial de limite de função, que de fato exige que toda sequência convergente a faça .
Passo 2
Um contraexemplo clássico é a função de Dirichlet
Escolha x0=0.
Se pegarmos uma sequência (xn)racional tendendo a 0, então f(xn)=1 para todo n e f(xn)to1.
Contudo, não existe limxto0f(x), pois uma sequência irracional(yn) com ynto0 satisfaz f(yn)=0to0neq1.
Logo, existe uma sequência que manda f(xn) a 1, mas o limite geral não existe.
Passo 3
Para que a afirmação fique verdadeira, basta reforçar a hipótese de “alguma sequência” para “toda sequência” que tende a x0. Assim, a versão correta é:
Se para toda sequência (xn) com xnneq x0 e xnto x0 vale
f(xn);to;l,
então
limxto x0f(x)=l
Resposta
Contraexemplo: função de Dirichlet definida por
f(x)= 1,&xinQ, 0,&xnotinQ,
em x0=0, pois uma sequência racional leva f(xn)to1 mas o limite não existe.
Afirmação verdadeira: substituir “existe alguma sequência” por “para toda sequência” convergente a x0.