Dada uma função f: R R e x0 in R, se para uma sequência (xn) tal que xn x0, com xn neq x0 vale que f(xn) l então lim x x0 f(x)=l.
Dê um contraexemplo para a afirmação falsa e modifique as hipóteses para que ela se torne verdadeira. Não é necessário provar essa nova afirmação verdadeira.

Passo 1

O enunciado quer usar um único caso sequencial para garantir limite de função. Mais precisamente, temos fcolon RtoR e x0inR. Ele afirma que, se existe alguma sequência (xn) com xnto x0 e xnneq x0 tal que f(xn)to l, então limxto x0f(x)=l. O conteúdo aqui é a caracterização sequencial de limite de função, que de fato exige que toda sequência convergente a x0 faça f(xn)to l.

Passo 2

Um contraexemplo clássico é a função de Dirichlet
f(x)= 1,&xinQ, 0,&xnotinQ
Escolha x0=0.
  • Se pegarmos uma sequência (xn) racional tendendo a 0, então f(xn)=1 para todo n e f(xn)to1.
  • Contudo, não existe limxto0f(x), pois uma sequência irracional (yn) com ynto0 satisfaz f(yn)=0to0neq1.
    Logo, existe uma sequência que manda f(xn) a 1, mas o limite geral não existe.

Passo 3

Para que a afirmação fique verdadeira, basta reforçar a hipótese de “alguma sequência” para “toda sequência” que tende a x0. Assim, a versão correta é:
Se para toda sequência (xn) com xnneq x0 e xnto x0 vale
f(xn);to;l,
então
limxto x0f(x)=l

Resposta

Contraexemplo: função de Dirichlet definida por
f(x)= 1,&xinQ, 0,&xnotinQ,
em x0=0, pois uma sequência racional leva f(xn)to1 mas o limite não existe.
Afirmação verdadeira: substituir “existe alguma sequência” por “para toda sequência” convergente a x0.

Exercícios relacionados