Demonstre a continuidade da função
Para isto você pode utilizar propriedades do limite, das funções contínuas, o resultado da letra (a) e pode utilizar que a função
é contínua. Pode usar também a definição de limite se assim o preferir.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
é contínua em todo
. O conteúdo que vamos usar é:
– Polinômios são contínuos.
– A função é contínua.
– Soma, produto e quociente (quando o denominador não zera) de funções contínuas são contínuas.
– Polinômios são contínuos.
– A função
– Soma, produto e quociente (quando o denominador não zera) de funções contínuas são contínuas.
Passo 2
Definimos o numerador
Como
e
são contínuas, o produto
é contínuo. Subtrair
(que é contínua por hipótese) de uma função contínua mantém a continuidade. Logo
é contínua em
.
Passo 3
Definimos o denominador
Sendo
contínua e
constante (logo contínua), a soma
é contínua em
. Além disso, para todo
tem-se
logo o denominador nunca se anula.
Passo 4
Como
e
são contínuas em
e
para todo
, o quociente
é contínuo em todo
por se tratar de quociente de funções contínuas com denominador não nulo.
Resposta
A função
é contínua em todo
.