Demonstre a continuidade da função
f(x)=x^2 sen x-xx^2+4
Para isto você pode utilizar propriedades do limite, das funções contínuas, o resultado da letra (a) e pode utilizar que a função g(x)=x é contínua. Pode usar também a definição de limite se assim o preferir.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
f(x)=x^2sen x - xx^2+4
é contínua em todo R. O conteúdo que vamos usar é:
– Polinômios são contínuos.
– A função sen x é contínua.
– Soma, produto e quociente (quando o denominador não zera) de funções contínuas são contínuas.

Passo 2

Definimos o numerador
N(x)=x^2sen x - x
Como xmapsto x^2 e xmapsto sen x são contínuas, o produto x^2sen x é contínuo. Subtrair x (que é contínua por hipótese) de uma função contínua mantém a continuidade. Logo N(x) é contínua em R.

Passo 3

Definimos o denominador
D(x)=x^2+4
Sendo xmapsto x^2 contínua e xmapsto 4 constante (logo contínua), a soma x^2+4 é contínua em R. Além disso, para todo xinR tem-se
D(x)=x^2+4>=4>0,
logo o denominador nunca se anula.

Passo 4

Como N(x) e D(x) são contínuas em R e D(x)neq0 para todo x, o quociente
f(x)=N(x)D(x)
é contínuo em todo R por se tratar de quociente de funções contínuas com denominador não nulo.

Resposta

A função f(x)=x^2sen x - xx^2+4 é contínua em todo R.

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