Dada a função f(x)=\sin (x) e os pontos (0,0),(\pi / 2,1),(\pi, 0) :
(a) Determine P_{2}(x)
(b) Estime o erro máximo no intervalo [0, \pi]
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de interpolação de grau 2 de f(x)=\sin(x) nos pontos (0,0), \bigl(\tfrac\pi2,1\bigr) e (\pi,0), e depois estima o erro máximo no intervalo [0,\pi]. Para isso vamos usar a fórmula de Lagrange para P_2(x) e o termo de resto da interpolação de ordem 2.
Passo 2
Construímos P_2(x) pelo método de Lagrange. Como só o ponto \bigl(\tfrac\pi2,1\bigr) tem valor não-zero, basta o polinômio
Para achar o máximo de \bigl|x(x-\tfrac\pi2)(x-\pi)\bigr| em [0,\pi], note que a função muda de sinal em x=0,\tfrac\pi2,\pi e é simétrica em torno de \tfrac\pi2. Seja t=\bigl|x-\tfrac\pi2\bigr|, vai-se ao problema de maximizar