Dada a função f(x)=\sin (x) e os pontos (0,0),(\pi / 2,1),(\pi, 0) :
(a) Determine P_{2}(x)
(b) Estime o erro máximo no intervalo [0, \pi]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de interpolação de grau 2 de f(x)=\sin(x) nos pontos (0,0), \bigl(\tfrac\pi2,1\bigr) e (\pi,0), e depois estima o erro máximo no intervalo [0,\pi]. Para isso vamos usar a fórmula de Lagrange para P_2(x) e o termo de resto da interpolação de ordem 2.

Passo 2

Construímos P_2(x) pelo método de Lagrange. Como só o ponto \bigl(\tfrac\pi2,1\bigr) tem valor não-zero, basta o polinômio
P_2(x) =1\cdot L_1(x),
onde
L_1(x) =\frac{(x-0)\,(x-\pi)}{\bigl(\tfrac\pi2-0\bigr)\,\bigl(\tfrac\pi2-\pi\bigr)} =\frac{x(x-\pi)}{\tfrac\pi2\bigl(-\tfrac\pi2\bigr)} =-\frac{4}{\pi^2}\,x(x-\pi).

Passo 3

Reescrevendo,
P_2(x) =-\frac{4}{\pi^2}\,x(x-\pi) =\frac{4}{\pi^2}\,x(\pi-x).

Passo 4

O termo de resto da interpolação de grau 2 é
R_2(x) =\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-0)\,(x-\tfrac\pi2)\,(x-\pi),
para algum \xi entre 0 e \pi. Como f(x)=\sin(x) implica f^{(3)}(x)=-\cos(x), temos \lvert f^{(3)}(\xi)\rvert\le1.

Passo 5

Logo
|R_2(x)|\le\frac{1}{6}\,\bigl|x(x-\tfrac\pi2)(x-\pi)\bigr|.
Para achar o máximo de \bigl|x(x-\tfrac\pi2)(x-\pi)\bigr| em [0,\pi], note que a função muda de sinal em x=0,\tfrac\pi2,\pi e é simétrica em torno de \tfrac\pi2. Seja t=\bigl|x-\tfrac\pi2\bigr|, vai-se ao problema de maximizar
h(t)=t\Bigl(\frac{\pi^2}{4}-t^2\Bigr) \quad\text{em }[0,\tfrac\pi2].
Derivando h'(t)=\tfrac{\pi^2}{4}-3t^2=0 t=\tfrac\pi{2\sqrt3}. Substituindo,
\max_{[0,\pi]}\bigl|x(x-\tfrac\pi2)(x-\pi)\bigr| =\frac{\pi}{2\sqrt3}\Bigl(\frac{\pi^2}{4}-\frac{\pi^2}{12}\Bigr) =\frac{\pi^3}{12\sqrt3}.

Passo 6

Portanto o erro máximo satisfaz
\max_{x\in[0,\pi]}|R_2(x)| \le\frac{1}{6}\,\frac{\pi^3}{12\sqrt3} =\frac{\pi^3}{72\sqrt3}.

Resposta

(a) P_2(x)=\frac{4}{\pi^2}\,x(\pi-x).
(b) \max_{x\in[0,\pi]}\bigl|f(x)-P_2(x)\bigr| \le\frac{\pi^3}{72\sqrt3}.

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