Para os pontos (-1,2),(0,-1),(1,0) :
(a) Construa a tabela de diferenças divididas
(b) Escreva o polinômio na forma de Newton

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos (-1,2), (0,-1) e (1,0) e pede (a) a tabela de diferenças divididas e (b) o polinômio interpolador na forma de Newton. O conteúdo aqui é interpolação polinomial por diferenças divididas de Newton, em que primeiro calculamos as diferenças de primeira e segunda ordem e depois montamos o polinômio de forma incremental.

Passo 2

Definimos
x_0 = -1,\quad f[x_0]=2;\qquad x_1 = 0,\quad f[x_1]=-1;\qquad x_2 = 1,\quad f[x_2]=0.
Agora calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0,x_1] =\frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0} =\frac{-1-2}{0-(-1)} =-3,
f[x_1,x_2] =\frac{f[x_2]-f[x_1]}{x_2-x_1} =\frac{0-(-1)}{1-0} =1.

Passo 3

Calculamos a diferença dividida de segunda ordem entre os três pontos:
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{1-(-3)}{1-(-1)} =\frac{4}{2} =2.

Passo 4

Com esses valores, montamos a tabela de diferenças divididas: x_i \;f[x_i] \;f[x_i,x_{i+1}] \;f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] -1 \;2 \;-3 \;2 0 \;-1 \;1 1 \;0

Passo 5

Escrevemos o polinômio de Newton na forma
P(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1]\,(x - x_0) + f[x_0,x_1,x_2]\,(x - x_0)(x - x_1).
Substituindo os valores:
P(x) = 2 + (-3)\,(x + 1) + 2\,(x + 1)\,x.

Resposta

(a) Tabela de diferenças divididas: x_i \,f[x_i] \,f[x_i,x_{i+1}] \,f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] -1 \,2 \,-3 \,2 0 \,-1 \,1 1 \,0
(b) Polinômio de Newton:
P(x) = 2 - 3\,(x + 1) + 2\,(x + 1)\,x.

Exercícios relacionados