Questão 3.[2,00 pontos]
Calcule a integral
.
Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
O conteúdo é manipulação de identidades trigonométricas para simplificar o integrando e depois uso de substituição e frações parciais para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador usando
.
Logo o denominador vira
Como
, temos
Portanto o integrando é
Passo 3
Reescrevendo a integral com o simplificado:
Agora fazemos a substituição
, de modo que
. Então
Mas
, logo a integral fica
Passo 4
Para integrar
fazemos frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando por
dá
Igualando coeficientes:
e
. Então
A integral vira
Passo 5
Agora integramos cada termo:
-
. - Para
, use , , então
Multiplicando pelo
que estava fora, obtemos
Juntando tudo,
Passo 6
Voltando a
e lembrando que
, encontramos
Podemos escrever a resposta final como