Questão 3.[2,00 pontos]
Calcule a integral \int \frac{1}{\cos ^{2} x \cdot \tan ^{3} x-\tan x \cdot \cos ^{2} x} dx.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\cos^{2}x\cdot\tan^{3}x \;-\;\tan x\cdot\cos^{2}x}\,dx.
O conteúdo é manipulação de identidades trigonométricas para simplificar o integrando e depois uso de substituição e frações parciais para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador usando \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
\cos^{2}x\;\tan^{3}x = \cos^{2}x\;\frac{\sin^{3}x}{\cos^{3}x} =\frac{\sin^{3}x}{\cos x},
\tan x\;\cos^{2}x =\frac{\sin x}{\cos x}\;\cos^{2}x =\sin x\;\cos x.
Logo o denominador vira
\frac{\sin^{3}x}{\cos x}-\sin x\,\cos x =\sin x\Bigl(\frac{\sin^{2}x}{\cos x}-\cos x\Bigr) =\sin x\,\frac{\sin^{2}x-\cos^{2}x}{\cos x}.
Como \sin^{2}x-\cos^{2}x=-\cos2x, temos
\sin x\,\frac{-\cos2x}{\cos x} =-\frac{\sin x\,\cos2x}{\cos x}.
Portanto o integrando é
\frac{1}{-\frac{\sin x\,\cos2x}{\cos x}} =-\frac{\cos x}{\sin x\,\cos2x}.

Passo 3

Reescrevendo a integral com o simplificado:
\int \frac{1}{\cos^{2}x\,\tan^{3}x-\tan x\,\cos^{2}x}\,dx =-\int \frac{\cos x}{\sin x\,\cos2x}\,dx.
Agora fazemos a substituição \;u=\sin x, de modo que du=\cos x\,dx. Então
-\int \frac{\cos x}{\sin x\,\cos2x}\,dx =-\int \frac{1}{u}\;\frac{1}{\cos2x}\;du.
Mas \cos2x=1-2\sin^{2}x=1-2u^{2}, logo a integral fica
-\int \frac{1}{u\,(1-2u^{2})}\,du.

Passo 4

Para integrar
-\int \frac{1}{u(1-2u^{2})}\,du,
fazemos frações parciais. Procuramos constantes A,B tais que
\frac{1}{u(1-2u^{2})} =\frac{A}{u}+\frac{B\,u}{1-2u^{2}}.
Multiplicando por u(1-2u^{2})
1=A(1-2u^{2})+B\,u^{2} \;\Longrightarrow\; 1=A+(B-2A)u^{2}.
Igualando coeficientes: A=1 e B-2A=0\Rightarrow B=2. Então
\frac{1}{u(1-2u^{2})} =\frac{1}{u}+\frac{2u}{1-2u^{2}}.
A integral vira
-\int\Bigl(\frac{1}{u}+\frac{2u}{1-2u^{2}}\Bigr)\,du =-\int\frac{1}{u}\,du \;-\;2\int\frac{u}{1-2u^{2}}\,du.

Passo 5

Agora integramos cada termo:
  1. \displaystyle \int\frac{1}{u}\,du=\ln|u|.
  2. Para \displaystyle \int\frac{u}{1-2u^{2}}\,du, use v=1-2u^{2}, dv=-4u\,du, então
\int\frac{u}{1-2u^{2}}\,du =-\frac{1}{4}\int\frac{dv}{v} =-\frac{1}{4}\ln|v| =-\frac{1}{4}\ln|1-2u^{2}|.
Multiplicando pelo -2 que estava fora, obtemos
-2\int\frac{u}{1-2u^{2}}\,du =-2\Bigl(-\tfrac{1}{4}\ln|1-2u^{2}|\Bigr) =\tfrac{1}{2}\ln\bigl|1-2u^{2}\bigr|.
Juntando tudo,
-\int\Bigl(\frac{1}{u}+\frac{2u}{1-2u^{2}}\Bigr)\,du =-\ln|u|+\tfrac{1}{2}\ln\bigl|1-2u^{2}\bigr|+C.

Passo 6

Voltando a u=\sin x e lembrando que 1-2\sin^{2}x=\cos2x, encontramos
-\ln|\sin x|+\tfrac{1}{2}\ln\bigl|\cos2x\bigr|+C.
Podemos escrever a resposta final como
\frac{1}{2}\ln\bigl|\cos2x\bigr|-\ln\bigl|\sin x\bigr|+C.

Resposta

\frac{1}{2}\ln\bigl|\cos2x\bigr|\;-\;\ln\bigl|\sin x\bigr|+C.

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