Questão 4.[2,00 pontos]
Calcule a integral \int \frac{x}{x^{3}-x^{2}+2 x-2} dx.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x}{x^{3}-x^{2}+2x-2}\,dx.
Estamos em Cálculo de funções racionais: vamos fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador por agrupamento:
x^{3}-x^{2}+2x-2 = x^{2}(x-1)+2(x-1) = (x-1)(x^{2}+2).

Passo 3

Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{x}{(x-1)(x^{2}+2)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+2), obtemos
x = A(x^{2}+2)+(Bx+C)(x-1).

Passo 4

Expandindo o lado direito:
x = A x^{2} +2A + Bx^{2} - Bx + Cx - C = (A+B)x^{2} + (C-B)x + (2A - C).
Igualando coeficientes a x^{2}\), a \(x\) e ao termo constante, vem o sistema \[\begin{cases} A+B=0,\\\ C-B=1,\\\\ 2A-C=0. \end{cases}
Da primeira B=-A\]. Substituindo na segunda \(C + A=1. Da terceira C=2A. Logo
3A=1\implies A=\tfrac13,\quad B=-\tfrac13,\quad C=\tfrac23.

Passo 5

Isso dá
\frac{x}{(x-1)(x^{2}+2)} = \frac{1/3}{x-1} - \frac{x}{3(x^{2}+2)} + \frac{2}{3(x^{2}+2)}.
Assim a integral se separa:
\int \frac{x}{x^{3}-x^{2}+2x-2}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{3}\int \frac{x\,dx}{x^{2}+2} + \frac{2}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+2}.

Passo 6

Usamos integrais padrões:
\int \frac{dx}{x-1}=\ln|x-1|,\quad \int \frac{x\,dx}{x^{2}+2}=\frac12\ln(x^{2}+2), \quad \int \frac{dx}{x^{2}+2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr).
Logo
\frac{1}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{3}\cdot\frac12\ln(x^{2}+2) + \frac{2}{3}\cdot\frac1{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{x}{x^{3}-x^{2}+2x-2}\,dx = \frac{1}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{6}\ln(x^{2}+2) + \frac{2}{3\sqrt{2}}\arctan\!\Bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.

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