Encontre o polinômio interpolador para os pontos (2,4) e (5,1) usando:
(a) Forma padrão
(b) Método de Lagrange
Passo 1
O enunciado pede o polinômio interpolador de grau no máximo 1 que passa pelos pontos (2,4) e (5,1). Vamos usar dois métodos clássicos de interpolação de polinômios:
Forma padrão, isto é, supor p(x)=ax+b e determinar a e b pelo sistema que surge.
Método de Lagrange, construindo diretamente os polinômios-base e combinando-os com os valores dados.
Passo 2
Para a forma padrão assumimos
p(x)=a\,x + b,
e impomos que p(2)=4 e p(5)=1. Isso gera o sistema
\begin{cases} 2a + b = 4,\\\\ 5a + b = 1. \end{cases}
Passo 3
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
(5a + b) - (2a + b) = 1 - 4 \quad\Longrightarrow\quad 3a = -3 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.
Substituindo a=-1 em 2a+b=4, vem
2(-1) + b = 4 \quad\Longrightarrow\quad -2 + b = 4 \quad\Longrightarrow\quad b = 6.
Passo 4
Portanto, pela forma padrão o polinômio interpolador é
p(x) = -\,x + 6.
Passo 5
Agora, pelo método de Lagrange, temos dois nós x_0=2 e x_1=5 com valores f(x_0)=4 e f(x_1)=1. Os polinômios-base são