Encontre o polinômio interpolador para os pontos (2,4) e (5,1) usando:
(a) Forma padrão
(b) Método de Lagrange

Passo 1

O enunciado pede o polinômio interpolador de grau no máximo 1 que passa pelos pontos (2,4) e (5,1). Vamos usar dois métodos clássicos de interpolação de polinômios:
  • Forma padrão, isto é, supor p(x)=ax+b e determinar a e b pelo sistema que surge.
  • Método de Lagrange, construindo diretamente os polinômios-base e combinando-os com os valores dados.

Passo 2

Para a forma padrão assumimos
p(x)=a\,x + b,
e impomos que p(2)=4 e p(5)=1. Isso gera o sistema
\begin{cases} 2a + b = 4,\\\\ 5a + b = 1. \end{cases}

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
(5a + b) - (2a + b) = 1 - 4 \quad\Longrightarrow\quad 3a = -3 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.
Substituindo a=-1 em 2a+b=4, vem
2(-1) + b = 4 \quad\Longrightarrow\quad -2 + b = 4 \quad\Longrightarrow\quad b = 6.

Passo 4

Portanto, pela forma padrão o polinômio interpolador é
p(x) = -\,x + 6.

Passo 5

Agora, pelo método de Lagrange, temos dois nós x_0=2 e x_1=5 com valores f(x_0)=4 e f(x_1)=1. Os polinômios-base são
L_0(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} = \frac{x - 5}{2 - 5} = \frac{5 - x}{3},
L_1(x) = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} = \frac{x - 2}{5 - 2} = \frac{x - 2}{3}.

Passo 6

O polinômio de Lagrange é
p(x) = f(x_0)\,L_0(x) + f(x_1)\,L_1(x) = 4\cdot\frac{5 - x}{3} + 1\cdot\frac{x - 2}{3}.
Colocando sobre o mesmo denominador e somando:
p(x) = \frac{20 - 4x + x - 2}{3} = \frac{18 - 3x}{3} = 6 - x.

Resposta

(a) p(x) = -\,x + 6
(b) p(x) = 4\cdot\frac{x - 5}{2 - 5} + 1\cdot\frac{x - 2}{5 - 2} = -\,x + 6

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