Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Caso seja convergente, calcule a sua soma.
sumn=1^infty 1+2^n3^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se a série sumn=1^infty 1+2^n3^n converge ou diverge. Se ela convergir, também temos que calcular a soma dela. Para isso, a gente vai precisar usar conceitos de séries geométricas e propriedades delas para determinar a convergência e, se for o caso, calcular a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série: 1 + 2^n3^n . Podemos separar essa fração em duas partes para facilitar a análise:
13^n + 2^n3^n = (13)^n + (23)^n
Agora, temos duas séries separadas: sumn=1^infty (13)^n e sumn=1^infty (23)^n .

Passo 3

Vamos analisar cada uma dessas séries individualmente. Ambas são séries geométricas, que têm a forma geral sumn=1^infty ar^n , onde a é o primeiro termo e r é a razão.
Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1, e a soma dela é dada por a1 - r .

Passo 4

Para a primeira série sumn=1^infty (13)^n :
  • A razão r = 13 .
  • Como | 13 | < 1 , a série converge.
  • A soma é 131 - 13 = 1323 = 12 .

Passo 5

Para a segunda série sumn=1^infty (23)^n :
  • A razão r = 23 .
  • Como | 23 | < 1 , essa série também converge.
  • A soma é 231 - 23 = 2313 = 2 .

Passo 6

Agora, como a série original é a soma das duas séries que acabamos de analisar, podemos somar as somas delas:
12 + 2 = 12 + 42 = 52

Resposta

A série sumn=1^infty 1+2^n3^n converge e a sua soma é 52 .

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