Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem. Caso seja convergente, calcule a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para verificar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também temos que calcular a soma dela. Para isso, a gente vai precisar usar conceitos de séries geométricas e propriedades delas para determinar a convergência e, se for o caso, calcular a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série: . Podemos separar essa fração em duas partes para facilitar a análise:
Agora, temos duas séries separadas: e .
Passo 3
Vamos analisar cada uma dessas séries individualmente. Ambas são séries geométricas, que têm a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão.
Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, e a soma dela é dada por .
Passo 4
Para a primeira série :
A razão .
Como , a série converge.
A soma é 131 - 13 = 1323 = 12 .
Passo 5
Para a segunda série sumn=1^infty (23)^n :
A razão r = 23 .
Como | 23 | < 1 , essa série também converge.
A soma é 231 - 23 = 2313 = 2 .
Passo 6
Agora, como a série original é a soma das duas séries que acabamos de analisar, podemos somar as somas delas:
12 + 2 = 12 + 42 = 52
Resposta
A série sumn=1^infty 1+2^n3^n converge e a sua soma é 52 .