2- Dada a função vetorial r(t)=e^2 t i+sen(t)t j+t^3 k, Calcule:
a) lim t 0 r(t)
b) r^prime(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial r(t) = e^2t i + sen(t)t j + t^3 k . O exercício pede para calcular dois itens:
a) O limite dessa função quando t se aproxima de 0.
b) A derivada da função r(t) .
Vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas de funções vetoriais, além de lembrar como derivar funções básicas. Bora lá!

Passo 2

Vamos começar com o item a): calcular limt to 0 r(t) .
Para encontrar o limite de uma função vetorial, a gente calcula o limite de cada componente separadamente.

Passo 3

Primeira componente: e^2t .
Sabemos que e^x é uma função contínua, então:
limt to 0 e^2t = e^0 = 1

Passo 4

Segunda componente: sen(t)t .
Esse é um limite clássico:
limt to 0 sen(t)t = 1
Isso porque o seno de t se aproxima de t quando t está perto de 0.

Passo 5

Terceira componente: t^3 .
Aqui é simples:
limt to 0 t^3 = 0
Porque qualquer potência de t com t indo a 0 também vai a 0.

Passo 6

Agora, juntando tudo, o limite da função vetorial é:
limt to 0 r(t) = 1 i + 1 j + 0 k

Passo 7

Passando para o item b): calcular r'(t) , a derivada de r(t) .
A derivada de uma função vetorial é a derivada de cada uma das suas componentes.

Passo 8

Primeira componente: e^2t .
A derivada de e^kt em relação a t é k e^kt , então:
ddt e^2t = 2 e^2t

Passo 9

Segunda componente: sen(t)t .
Aqui usamos a regra do quociente. Se temos f(t)g(t) , a derivada é:
f'(t)g(t) - f(t)g'(t)g(t)^2
Aplicando isso:
f(t) = sen(t) Rightarrow f'(t) = cos(t)
g(t) = t Rightarrow g'(t) = 1
Então:
ddt ( sen(t)t ) = cos(t) cdot t - sen(t) cdot 1t^2 = t cos(t) - sen(t)t^2

Passo 10

Terceira componente: t^3 .
A derivada é direta usando a regra do poder:
ddt t^3 = 3t^2

Passo 11

Juntando todas as derivadas das componentes, a derivada da função vetorial é:
r'(t) = 2 e^2t i + ( t cos(t) - sen(t)t^2 ) j + 3t^2 k

Resposta

a)
limt to 0 r(t) = 1 i + 1 j + 0 k
b)
r'(t) = 2 e^2t i + ( t cos(t) - sen(t)t^2 ) j + 3t^2 k

Exercícios relacionados