2- Dada a função vetorial
, Calcule:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
. O exercício pede para calcular dois itens:
a) O limite dessa função quando
se aproxima de 0.
b) A derivada da função
.
Vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas de funções vetoriais, além de lembrar como derivar funções básicas. Bora lá!
Passo 2
Vamos começar com o item a): calcular
.
Para encontrar o limite de uma função vetorial, a gente calcula o limite de cada componente separadamente.
Passo 3
Primeira componente:
.
Sabemos que
é uma função contínua, então:
Passo 4
Segunda componente:
.
Esse é um limite clássico:
Isso porque o seno de t se aproxima de t quando t está perto de 0.
Passo 5
Terceira componente:
.
Aqui é simples:
Porque qualquer potência de t com t indo a 0 também vai a 0.
Passo 6
Agora, juntando tudo, o limite da função vetorial é:
Passo 7
Passando para o item b): calcular
, a derivada de
.
A derivada de uma função vetorial é a derivada de cada uma das suas componentes.
Passo 8
Primeira componente:
.
A derivada de
em relação a t é
, então:
Passo 9
Segunda componente:
.
Aqui usamos a regra do quociente. Se temos
, a derivada é:
Aplicando isso:
Então:
Passo 10
Terceira componente:
.
A derivada é direta usando a regra do poder:
Passo 11
Juntando todas as derivadas das componentes, a derivada da função vetorial é:
Resposta
a)
b)