Sendo dadas r(t)=(e^t,-cos (t), sen(t)) e s(t)=(t^2, sen(t), cos (t)), determine:
dd t(r(t) times s(t)).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
r(t) = l(e^t, -cos(t), sin(t)r) e
s(t) = l(t^2, sin(t), cos(t)r)
e pede dfracddt!l(r(t)timess(t)r).
O conteúdo aqui é a regra do produto para derivada de produto vetorial, que diz
ddtl(rtimessr) =r'timess+rtimess'

Passo 2

Calculamos as derivadas de cada vetor componente a componente:
r'(t) =l((e^t)',,(-cos t)',,(sin t)'r) =(e^t,,sin t,,cos t),
s'(t) =l((t^2)',,(sin t)',,(cos t)'r) =(2t,,cos t,,-sin t)

Passo 3

Aplicamos r'timess. Usando o determinante,
r'timess = i&j&k e^t&sin t&cos t t^2&sin t&cos t
Isso dá, coordenada a coordenada,
r'timess =l(sin tcos t-cos tsin t,,-(e^tcos t-cos t,t^2),,e^tsin t-sin t,t^2r),
ou seja
r'timess =l(0,;cos t,(t^2-e^t),;sin t,(e^t-t^2)r)

Passo 4

Agora rtimess':
rtimess' = i&j&k e^t&-cos t&sin t 2t&cos t&-,sin t ,
resultando em
rtimess' =l(0,;sin t,(e^t+2t),;cos t,(e^t+2t)r)

Passo 5

Somamos os dois resultados para obter a derivada total:
ddt(rtimess) =r'timess+rtimess' =(0,,cos t,(t^2-e^t)+sin t,(e^t+2t),, sin t,(e^t-t^2)+cos t,(e^t+2t))
Podemos reorganizar cada componente:
l(0,;t^2cos t+e^t(sin t-cos t)+2tsin t,; e^t(sin t+cos t)-t^2sin t+2tcos tr)

Resposta

ddtl(r(t)timess(t)r) =l(0,;t^2cos t+e^t(sin t-cos t)+2tsin t,; e^t(sin t+cos t)-t^2sin t+2tcos tr)

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