Dado o conjunto de pontos
obtenha o polinômio interpolador pelo método de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação usando o método de Newton! A gente tem alguns pontos:
,
,
e
, e queremos achar um polinômio que passe por todos eles. Pra isso, vamos usar o conceito de polinômio interpolador de Newton, que nos ajuda a construir um polinômio que se ajusta perfeitamente a esses pontos. Precisamos entender como calcular as diferenças divididas e usar essas diferenças pra montar o polinômio.
Passo 2
Primeiro, organizamos os pontos em ordem crescente de
. No nosso caso, já estão ordenados:
.
Passo 3
Vamos montar uma tabela de diferenças divididas. Na primeira coluna, colocamos os valores de
e
. Abaixo:
Passo 4
Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas. A fórmula para a primeira diferença dividida é:
Vamos calcular:
Passo 5
Em seguida, calculamos as segundas diferenças divididas usando a fórmula:
Vamos lá:
Passo 6
Agora, calculamos a terceira diferença dividida:
Passo 7
Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral é:
No nosso caso, temos:
Passo 8
Vamos simplificar o polinômio:
Expandindo cada termo:
Somando tudo:
Resposta
O polinômio interpolador pelo método de Newton é: