Dado o conjunto de pontos (1,0),(3,6),(4,24),(5,60) obtenha o polinômio interpolador pelo método de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação usando o método de Newton! A gente tem alguns pontos: (1,0), (3,6), (4,24) e (5,60), e queremos achar um polinômio que passe por todos eles. Pra isso, vamos usar o conceito de polinômio interpolador de Newton, que nos ajuda a construir um polinômio que se ajusta perfeitamente a esses pontos. Precisamos entender como calcular as diferenças divididas e usar essas diferenças pra montar o polinômio.

Passo 2

Primeiro, organizamos os pontos em ordem crescente de x . No nosso caso, já estão ordenados: x = 1, 3, 4, 5 .

Passo 3

Vamos montar uma tabela de diferenças divididas. Na primeira coluna, colocamos os valores de e . Abaixo:

Passo 4

Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas. A fórmula para a primeira diferença dividida é:
f[xi, xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi
Vamos calcular:
f[1,3] = 6 - 03 - 1 = 62 = 3
f[3,4] = 24 - 64 - 3 = 181 = 18
f[4,5] = 60 - 245 - 4 = 361 = 36

Passo 5

Em seguida, calculamos as segundas diferenças divididas usando a fórmula:
f[xi, xi+1, xi+2] = f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]xi+2 - xi
Vamos lá:
f[1,3,4] = 18 - 34 - 1 = 153 = 5
f[3,4,5] = 36 - 185 - 3 = 182 = 9

Passo 6

Agora, calculamos a terceira diferença dividida:
f[1,3,4,5] = 9 - 55 - 1 = 44 = 1

Passo 7

Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral é:
P(x) = f[x0] + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + dots
No nosso caso, temos:
P(x) = 0 + 3(x - 1) + 5(x - 1)(x - 3) + 1(x - 1)(x - 3)(x - 4)

Passo 8

Vamos simplificar o polinômio:
P(x) = 3(x - 1) + 5(x - 1)(x - 3) + (x - 1)(x - 3)(x - 4)
Expandindo cada termo:
3(x - 1) = 3x - 3
5(x - 1)(x - 3) = 5(x^2 - 4x + 3) = 5x^2 - 20x + 15
(x - 1)(x - 3)(x - 4) = x^3 - 8x^2 + 19x - 12
Somando tudo:
P(x) = (3x - 3) + (5x^2 - 20x + 15) + (x^3 - 8x^2 + 19x - 12)
P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x

Resposta

O polinômio interpolador pelo método de Newton é:
P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x

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