Dada a função vetorial r(t), calcule as seguintes derivadas:
F(t)=(t^1 / 3, cos (t^2), 3 t)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
F(t) = l(t^1/3,,cos(t^2),,3tr)
e pede F'(t). O conteúdo é derivada de função vetorial feita componente a componente, usando regra do poder, regra da cadeia e derivada de cos.

Passo 2

Derivada da primeira componente t^1/3 pela regra do poder:
ddtl(t^1/3r) = 13,t^1/3-1 = 13,t^-2/3

Passo 3

Derivada da segunda componente cos(t^2) pela regra da cadeia:
ddtl(cos(t^2)r) = -sin(t^2),ddt(t^2) = -sin(t^2)cdot 2t = -2tsin(t^2)

Passo 4

Derivada da terceira componente 3t (linear):
ddt(3t) = 3

Passo 5

Juntando as três derivadas em vetor:
F'(t) = l(tfrac13t^-2/3,,-2tsin(t^2),,3r)

Resposta

F'(t) = l(tfrac13t^-2/3,,-2tsin(t^2),,3r).

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