Sabendo que x(-3 t+1)=t[u(-t-1)-u(-t+1)], determine a expressão analítica e plote o gráfico de x(t).

Passo 1

O enunciado pede para achar a expressão de um sinal x(t) sabendo que o sinal “avaliado em” –3t+1 vale certo produto que envolve degraus unitários, e depois plotar x(t). O assunto envolve transformação de tempo em sinais (reversão, escala e deslocamento) e propriedades da função degrau u(t).

Passo 2

Para “desfazer” a transformação de tempo, introduzimos uma nova variável de tempo s tal que

Passo 3

s = -3t + 1

Passo 4

Dessa relação, isolamos t em função de s:

Passo 5

t = 1 - s3

Passo 6

Agora reescrevemos x(s) usando a expressão dada:

Passo 7

x(s) = tl[u(-t-1) - u(-t+1)r],t=1-s3 = 1 - s3l[ul(-tfrac1-s3-1r) - ul(-tfrac1-s3+1r)r]

Passo 8

Em seguida simplificamos cada argumento do degrau u:

Passo 9

Para o primeiro termo:

Passo 10

-tfrac1-s3 -1 = -1-s + 33 = -4 - s3 = s - 43,

Passo 11

e como u(α·x)=u(x) quando α>0, temos

Passo 12

ul(-tfrac1-s3 -1r) = ul(tfracs - 43r) = u(s-4)

Passo 13

Para o segundo termo:

Passo 14

-tfrac1-s3 +1 = -1 + s +33 = s + 23,

Passo 15

logo

Passo 16

ul(-tfrac1-s3 +1r) = ul(tfracs + 23r) = u(s+2)

Passo 17

Portanto

Passo 18

x(s) = 1 - s3l[u(s-4) - u(s+2)r]

Passo 19

Basta agora renomear s → t para obter x(t):

Passo 20

x(t) = 1 - t3l[u(t-4) - u(t+2)r]

Passo 21

Para escrever de forma mais direta, analisamos onde os degraus diferem de zero:

Passo 22

– u(t+2)=0 para t<−2 e =1 para t≥−2.
– u(t-4)=0 para t<4 e =1 para t≥4.

Passo 23

O termo u(t-4)−u(t+2) vale 0 fora do intervalo −2≤t<4, e vale −1 dentro desse intervalo. Logo

Passo 24

x(t)=0,&t< -2,[6pt]1-t3( -1 )=t-13,&-2<= t<4,[6pt]0,&t>=4 ]

Resposta

A expressão analítica é
x(t)=0,&t< -2,[4pt]dfract-13,&-2<= t<4,[4pt]0,&t>=4
Graficamente, é um segmento de reta que vale −1 em t=−2, cresce linearmente até 1 em t=4, e é zero fora desse intervalo.]

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