Sabendo que
, determine a expressão analítica e plote o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a expressão de um sinal x(t) sabendo que o sinal “avaliado em” –3t+1 vale certo produto que envolve degraus unitários, e depois plotar x(t). O assunto envolve transformação de tempo em sinais (reversão, escala e deslocamento) e propriedades da função degrau u(t).
Passo 2
Para “desfazer” a transformação de tempo, introduzimos uma nova variável de tempo s tal que
Passo 3
Passo 4
Dessa relação, isolamos t em função de s:
Passo 5
Passo 6
Agora reescrevemos x(s) usando a expressão dada:
Passo 7
Passo 8
Em seguida simplificamos cada argumento do degrau u:
Passo 9
Para o primeiro termo:
Passo 10
Passo 11
e como u(α·x)=u(x) quando α>0, temos
Passo 12
Passo 13
Para o segundo termo:
Passo 14
Passo 15
logo
Passo 16
Passo 17
Portanto
Passo 18
Passo 19
Basta agora renomear s → t para obter x(t):
Passo 20
Passo 21
Para escrever de forma mais direta, analisamos onde os degraus diferem de zero:
Passo 22
– u(t+2)=0 para t<−2 e =1 para t≥−2.
– u(t-4)=0 para t<4 e =1 para t≥4.
– u(t-4)=0 para t<4 e =1 para t≥4.
Passo 23
O termo u(t-4)−u(t+2) vale 0 fora do intervalo −2≤t<4, e vale −1 dentro desse intervalo. Logo
Passo 24
Resposta
A expressão analítica é
Graficamente, é um segmento de reta que vale −1 em t=−2, cresce linearmente até 1 em t=4, e é zero fora desse intervalo.]