Questão 3.
( 3,0 pt ) Resolva a equação diferencial abaixo:
(x^3+y^2 e^x+3 y x^2) d x+(2 y e^x+x^3+y e^y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
l(x^3+y^2e^x+3yx^2r),dx ;+;l(2y e^x+x^3+y e^yr),dy = 0
Isso cai no caso de equações exatas, em que procuramos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M(x,y) e partial Psipartial y=N(x,y),
com
M(x,y)=x^3+y^2e^x+3yx^2, N(x,y)=2y e^x+x^3+y e^y

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão comparando
partial Mpartial y =partialpartial yl(x^3+y^2e^x+3yx^2r) =2y e^x+3x^2,
partial Npartial x =partialpartial xl(2y e^x+x^3+y e^yr) =2y e^x+3x^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar Psi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Psi(x,y) =integrall(x^3+y^2e^x+3yx^2r),dx =x^44+y^2e^x+yx^3+H(y),
onde H(y) é uma função apenas de y.

Passo 4

Agora impomos
partial Psipartial y =2y e^x+x^3+H'(y)
e igualamos a N(x,y)=2y e^x+x^3+y e^y. Assim
H'(y)=y e^y,
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H(y)=integral y e^y,dy =y e^y-integral e^y,dy =y e^y-e^y+C1 =e^y(y-1)+C1

Passo 5

Substituindo H(y) na expressão de Psi, obtemos a solução implícita
Psi(x,y) =x^44+yx^3+y^2e^x+e^y(y-1) =C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^44+x^3y+y^2e^x+(y-1)e^y=C

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