Questão 4.
(3,0 pt) Encontre a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime-4 y^prime+3 y=e^3 x(1+x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 3y = e^3x(1 + x)
Aqui vamos usar dois ingredientes:
  1. Resolver a equação homogênea associada pela equação característica.
  2. Encontrar uma solução particular por método dos coeficientes a determinar, levando em conta a ressonância com e^3x.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
y'' - 4y' + 3y = 0
A equação característica é
r^2 - 4r + 3 = 0,
cuja solução é
r = 1 ou r = 3
Logo a solução homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^3x

Passo 3

Para a parte não homogênea usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo à direita é e^3x(1 + x) e e^3x já aparece na solução homogênea (raiz r=3 simples), multiplicamos o nosso palpite por x. Assim propomos
yp = x,e^3x(A x + B) = e^3xl(A x^2 + Bxr)
Calculamos
yp' = e^3xl(3(Ax^2+Bx)+(2Ax+B)r) = e^3xl(3A x^2 + (3B+2A)x + Br),
yp'' = e^3xl(3l(3A x^2 + (3B+2A)x + Br) + (6Ax + (3B+2A))r) = e^3xl(9A x^2 + (9B+12A)x + (6B+2A)r)
Substituindo em y''-4y'+3y obtemos
L[yp] = e^3xl(4A x + 2(A+B)r)
e impomos
4A x + 2(A+B) = 1 + x
Comparando coeficientes:
4A = 1 implies A = tfrac14, 2(A+B) = 1 implies B = tfrac14
Logo uma particular é
yp = e^3xl(tfrac14 x^2 + tfrac14 xr)

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 e^3x + e^3xl(tfrac14 x^2 + tfrac14 xr)

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