Questão 4.
Encontre a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Aqui vamos usar dois ingredientes:
- Resolver a equação homogênea associada pela equação característica.
- Encontrar uma solução particular por método dos coeficientes a determinar, levando em conta a ressonância com
.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo à direita é
e
já aparece na solução homogênea (raiz
simples), multiplicamos o nosso palpite por
. Assim propomos
Calculamos
Substituindo em
obtemos
e impomos
Comparando coeficientes:
Logo uma particular é
Resposta
A solução geral é