Dada a função vetorial r(t), calcule as seguintes derivadas:
F(t)=(sen(5 t), cos (4 t),-e^-2 t)

Passo 1

Temos a função vetorial
F(t)=l(sin(5t),,cos(4t),,-e^-2tr),
e queremos encontrar sua derivada F'(t). Para isso usamos que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente separadamente, aplicando as regras de derivação (regra da cadeia, derivada de seno, cosseno e exponencial).

Passo 2

Derivamos a primeira componente sin(5t) usando a regra da cadeia:
ddtsin(5t)=cos(5t)cdotddt(5t)=5cos(5t)

Passo 3

Derivamos a segunda componente cos(4t) também pela cadeia:
ddtcos(4t)=-sin(4t)cdotddt(4t)=-4sin(4t)

Passo 4

Derivamos a terceira componente -e^-2t. Primeiro note que
ddte^-2t=e^-2tcdotddt(-2t)=-2e^-2t,
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ddtl(-e^-2tr)=-l(-2e^-2tr)=2e^-2t

Resposta

F'(t)=l(5cos(5t),, -4sin(4t),,2e^-2tr)

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