Dada uma função y=f(x) :
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y=4 x-x^2 no ponto P=(3, f(3)).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função y = f(x) = 4x - x^2 e queremos a reta tangente ao seu gráfico no ponto P = (3, f(3)). O conteúdo aqui é derivadas (taxa de variação instantânea) e a fórmula da reta tangente em ponto dado.

Passo 2

Primeiro, calculamos a imagem f(3). Substituindo x=3 em f(x):
f(3) = 4cdot3 - 3^2 = 12 - 9 = 3
Logo, o ponto é P = (3,3).

Passo 3

Agora, encontramos a derivada f'(x), que nos dá o coeficiente angular da reta tangente. Como f(x)=4x - x^2, aplicamos regras de derivação:
f'(x) = ddx(4x) - ddx(x^2) = 4 - 2x
Avaliando em x=3:
f'(3) = 4 - 2cdot3 = 4 - 6 = -2
Então o coeficiente angular é m = -2.

Passo 4

Por fim, usamos a fórmula da reta tangente no ponto (x0,y0):
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo (x0,y0)=(3,3) e m=-2:
y - 3 = -2(x - 3)
Podemos deixar na forma explícita:
y = -2x + 6 + 3 = -2x + 9

Resposta

A equação da reta tangente é y = -2x + 9.

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