Sejam f(x)=||x|+x+14| e g(x)=x^2-9.
escreva f circ g(x) sem usar módulos;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas funções:
  • f(x) = ||x| + x + 14|
  • g(x) = x^2 - 9
Queremos encontrar a composição dessas funções, ou seja, f circ g(x) , que significa aplicar g em x e depois aplicar f no resultado. Além disso, precisamos escrever essa expressão sem usar módulos (valores absolutos). Para isso, vamos precisar entender como manipular valores absolutos e funções compostas.

Passo 2

Vamos começar calculando g(x) :
g(x) = x^2 - 9
Isso significa que para qualquer valor de x , substituímos na expressão acima para encontrar g(x) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar f(g(x)) . Substituímos g(x) na função f :
f(g(x)) = ||g(x)| + g(x) + 14|
Ou seja:
f(g(x)) = ||x^2 - 9| + (x^2 - 9) + 14|

Passo 4

Para eliminar os módulos, precisamos considerar os diferentes casos para x^2 - 9 :
  1. Caso 1: x^2 - 9 >= 0
  2. Caso 2: x^2 - 9 < 0
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1: x^2 - 9 >= 0
Isso acontece quando x^2 >= 9 , ou seja, x <= -3 ou x >= 3 .
Nesse caso, |x^2 - 9| = x^2 - 9 . Substituindo na expressão de f(g(x)) :
f(g(x)) = |(x^2 - 9) + (x^2 - 9) + 14|
f(g(x)) = |2x^2 - 18 + 14|
f(g(x)) = |2x^2 - 4|
Como x^2 >= 9 , 2x^2 - 4 será sempre positivo ou zero:
f(g(x)) = 2x^2 - 4

Passo 6

Caso 2: x^2 - 9 < 0
Isso acontece quando -3 < x < 3 .
Nesse caso, |x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = 9 - x^2 . Substituindo na expressão de f(g(x)) :
f(g(x)) = |(9 - x^2) + (x^2 - 9) + 14|
f(g(x)) = |0 + 14|
f(g(x)) = 14

Passo 7

Agora, juntando os dois casos, temos a expressão de f circ g(x) sem módulos:
f circ g(x) = 2x^2 - 4 & se x <= -3 ou x >= 3 14 & se -3 < x < 3

Resposta

A composição f circ g(x) sem módulos é dada por:
f circ g(x) = 2x^2 - 4 & se x <= -3 ou x >= 3 14 & se -3 < x < 3

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