Determine o ponto de mínimo relativo da função y=x^3-3 x.

Passo 1

Temos a função y = x^3 - 3x. Para encontrar pontos de mínimo relativo, vamos precisar da primeira derivada para achar pontos críticos e da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
y' = ddx(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3
Igualando-a a zero:
3x^2 - 3 = 0 implies x^2 = 1 implies x = pm 1

Passo 3

Calculamos a segunda derivada:
y'' = ddx(3x^2 - 3) = 6x
Para classificar, avaliamos y'' em cada ponto crítico: em x = 1, y''(1) = 6 > 0 indica mínimo; em x = -1, y''(-1) = -6 < 0 indica máximo.

Passo 4

Calculamos o valor da função em x = 1:
y(1) = 1^3 - 3 cdot 1 = -2

Resposta

(1, -2)

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