Use o teste da razão para verificar se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para usarmos o teste da razão na série alternante
. O conteúdo envolve o teste da razão para séries e, se esse teste for inconclusivo, recorreremos ao teste da p-série para verificar convergência absoluta.
Passo 2
Definimos os termos positivos (valores absolutos) como
. No teste da razão, calculamos
:
Agora tomamos o limite quando
$$
L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{3/2}=1
$$
Passo 3
Como
, o teste da razão é inconclusivo. Para concluir, observamos que
forma uma p-série com
, e sabemos que toda p-série com
converge.
Portanto, a série original converge absolutamente (e, consequentemente, converge).
Portanto, a série original converge absolutamente (e, consequentemente, converge).
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.