Use o teste da razão para verificar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty (-1)^n-1n raizn

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o teste da razão na série alternante sumn=1^infty (-1)^n-1nraizn. O conteúdo envolve o teste da razão para séries e, se esse teste for inconclusivo, recorreremos ao teste da p-série para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos os termos positivos (valores absolutos) como an=1nraizn=1n^3/2. No teste da razão, calculamos an+1an:
an+1an=tfrac1(n+1)^3/2tfrac1n^3/2=(nn+1)^3/2
Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
$$
L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{3/2}=1
$$

Passo 3

Como L=1, o teste da razão é inconclusivo. Para concluir, observamos que an forma uma p-série com p=3/2>1, e sabemos que toda p-série com p>1 converge.
Portanto, a série original converge absolutamente (e, consequentemente, converge).

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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