Dada a função
a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
d) Use as informações obtidas nos itens anteriores para esboçar o gráfico.
a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
d) Use as informações obtidas nos itens anteriores para esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) monotonicidade; (b) extremos locais; (c) concavidade e pontos de inflexão; (d) esboço do gráfico.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para estudar monotonicidade:
Os pontos críticos são as raízes de
, ou seja,
e
.
Passo 3
Analisamos o sinal de
nos intervalos determinados por
e
:
- Se
, então e ? Atenção: . Logo . - Se
, então e . - Se
, então e .
Portanto
Passo 4
Como
muda de sinal de negativo para positivo em
, há mínimo local em
.
Como muda de positivo para negativo em
, há máximo local em
.
Calculamos os valores:
Como
Calculamos os valores:
Logo mínimo local em
e máximo local em
.
Passo 5
Calculamos a segunda derivada para concavidade:
Solução de
é
.
- Se
, então , concavidade para cima. - Se
, então , concavidade para baixo.
O ponto de inflexão écom
Passo 6
Usando monotonicidade e concavidade, o esboço do gráfico é:
- Começa decrescendo de
até o mínimo em , com concavidade para cima até chegar em . - De
a continua crescendo, mas já com concavidade para baixo, até o máximo em . - Depois de
o gráfico decresce para mantendo a concavidade para baixo.
Resposta
(a) crescente em
; decrescente em
.
(b) mínimo local em ; máximo local em
.
(c) concavidade para cima em ; concavidade para baixo em
; ponto de inflexão em
.
(d) Conforme descrito no Passo 6, com mínimo em , inflexão em
e máximo em
.
(b) mínimo local em
(c) concavidade para cima em
(d) Conforme descrito no Passo 6, com mínimo em