Dada a função y=-x^{3}+3 x^{2}+1
a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
d) Use as informações obtidas nos itens anteriores para esboçar o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = -x^{3} + 3x^{2} + 1
e pede: (a) monotonicidade; (b) extremos locais; (c) concavidade e pontos de inflexão; (d) esboço do gráfico.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para estudar monotonicidade:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{3} + 3x^{2} + 1\bigr) = -3x^{2} + 6x = -3x(x - 2).
Os pontos críticos são as raízes de y'=0, ou seja, x=0 e x=2.

Passo 3

Analisamos o sinal de y' nos intervalos determinados por 0 e 2:
  • Se x<0, então x<0 e x-2<0\implies x(x-2)>0\implies y'=-3\cdot(+)>0? Atenção: -3\cdot(+)=<0. Logo y'<0.
  • Se 0<x<2, então x>0 e x-2<0\implies x(x-2)<0\implies y'=-3\cdot(-)>0.
  • Se x>2, então x>0 e x-2>0\implies x(x-2)>0\implies y'=-3\cdot(+)<0.
    Portanto
\text{decrescente em }(-\infty,0),\quad \text{crescente em }(0,2),\quad \text{decrescente em }(2,\infty).

Passo 4

Como y' muda de sinal de negativo para positivo em x=0, há mínimo local em x=0.
Como y' muda de positivo para negativo em x=2, há máximo local em x=2.
Calculamos os valores:
y(0) = -0 + 0 + 1 = 1,\qquad y(2) = -8 + 12 + 1 = 5.
Logo mínimo local em \bigl(0,1\bigr) e máximo local em \bigl(2,5\bigr).

Passo 5

Calculamos a segunda derivada para concavidade:
y'' = \frac{d}{dx}(-3x^{2} + 6x) = -6x + 6 = -6(x-1).
Solução de y''=0 é x=1.
  • Se x<1, então x-1<0\implies y''=-6\cdot(-)>0, concavidade para cima.
  • Se x>1, então x-1>0\implies y''=-6\cdot(+)<0, concavidade para baixo.
    O ponto de inflexão é \bigl(1,y(1)\bigr) com
y(1) = -1 + 3 + 1 = 3.

Passo 6

Usando monotonicidade e concavidade, o esboço do gráfico é:
  • Começa decrescendo de -\infty até o mínimo em (0,1), com concavidade para cima até chegar em x=1.
  • De x=1 a x=2 continua crescendo, mas já com concavidade para baixo, até o máximo em (2,5).
  • Depois de x=2 o gráfico decresce para -\infty mantendo a concavidade para baixo.

Resposta

(a) crescente em (0,2); decrescente em (-\infty,0)\cup(2,\infty).
(b) mínimo local em \bigl(0,1\bigr); máximo local em \bigl(2,5\bigr).
(c) concavidade para cima em (-\infty,1); concavidade para baixo em (1,\infty); ponto de inflexão em \bigl(1,3\bigr).
(d) Conforme descrito no Passo 6, com mínimo em (0,1), inflexão em (1,3) e máximo em (2,5).

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